Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2656 / 1439
↖ ↑ ↗
← N 81.417213°
W121.640625°		 ← 364.62 m → N 81.417213°
W121.618653°		 →
↑
364.74 m
↓
↑
364.74 m
↓
N 81.413933°
W121.640625°		 ← 364.76 m →
133 017 m²		 N 81.413933°
W121.618653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162139892578125 y=0.087860107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162139892578125 × 214)
    floor (0.162139892578125 × 16384)
    floor (2656.5)     		tx = 2656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.087860107421875 × 214)
    floor (0.087860107421875 × 16384)
    floor (1439.5)     		ty = 1439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2656 / 1439 ti = "14/2656/1439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2656/1439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2656 ÷ 214
    2656 ÷ 16384     		x = 0.162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1439 ÷ 214
    1439 ÷ 16384     		y = 0.08782958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162109375 × 2 - 1) × π
    -0.67578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.12302941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08782958984375 × 2 - 1) × π
    0.8243408203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.58974306507391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12302941} λ = -2.12302941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58974306507391))-π/2
    2×atan(13.3263471592626)-π/2
    2×1.49589738129427-π/2
    2.99179476258855-1.57079632675     		φ = 1.42099844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12302941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42099844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.417213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2656 KachelY 1439 -2.12302941 1.42099844 -121.640625 81.417213
    Oben rechts KachelX + 1 2657 KachelY 1439 -2.12264592 1.42099844 -121.618653 81.417213
    Unten links KachelX 2656 KachelY + 1 1440 -2.12302941 1.42094119 -121.640625 81.413933
    Unten rechts KachelX + 1 2657 KachelY + 1 1440 -2.12264592 1.42094119 -121.618653 81.413933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42099844-1.42094119) × R
    5.72500000000087e-05 × 6371000     		dl = 364.739750000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42099844-1.42094119) × R
    5.72500000000087e-05 × 6371000     		dr = 364.739750000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12302941--2.12264592) × cos(1.42099844) × R
    0.000383489999999931 × 0.14923828573103 × 6371000     		do = 364.621186932232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12302941--2.12264592) × cos(1.42094119) × R
    0.000383489999999931 × 0.149294894358631 × 6371000     		du = 364.75949396843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42099844)-sin(1.42094119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14923828573103-0.149294894358631)×R²
    abs(-2.12264592--2.12302941)×5.66086276015954e-05×R²
    0.000383489999999931×5.66086276015954e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.66086276015954e-05×40589641000000     		ar = 133017.063640604m²