Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26558 / 11274
↖ ↑ ↗
← N 48.850258°
E111.774903°		 ← 803.83 m → N 48.850258°
E111.785888°		 →
↑
803.96 m
↓
↑
803.96 m
↓
N 48.843028°
E111.774903°		 ← 803.95 m →
646 293 m²		 N 48.843028°
E111.785888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810501098632812 y=0.344070434570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810501098632812 × 215)
    floor (0.810501098632812 × 32768)
    floor (26558.5)     		tx = 26558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344070434570312 × 215)
    floor (0.344070434570312 × 32768)
    floor (11274.5)     		ty = 11274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26558 / 11274 ti = "15/26558/11274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26558/11274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26558 ÷ 215
    26558 ÷ 32768     		x = 0.81048583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11274 ÷ 215
    11274 ÷ 32768     		y = 0.34405517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81048583984375 × 2 - 1) × π
    0.6209716796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95084007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34405517578125 × 2 - 1) × π
    0.3118896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.979830228233948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95084007} λ = 1.95084007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.979830228233948))-π/2
    2×atan(2.66400393088356)-π/2
    2×1.21169708640548-π/2
    2.42339417281097-1.57079632675     		φ = 0.85259785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95084007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.774903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85259785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.850258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26558 KachelY 11274 1.95084007 0.85259785 111.774903 48.850258
    Oben rechts KachelX + 1 26559 KachelY 11274 1.95103181 0.85259785 111.785888 48.850258
    Unten links KachelX 26558 KachelY + 1 11275 1.95084007 0.85247166 111.774903 48.843028
    Unten rechts KachelX + 1 26559 KachelY + 1 11275 1.95103181 0.85247166 111.785888 48.843028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85259785-0.85247166) × R
    0.000126190000000026 × 6371000     		dl = 803.956490000166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85259785-0.85247166) × R
    0.000126190000000026 × 6371000     		dr = 803.956490000166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95084007-1.95103181) × cos(0.85259785) × R
    0.000191739999999996 × 0.658029207225783 × 6371000     		do = 803.83238415259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95084007-1.95103181) × cos(0.85247166) × R
    0.000191739999999996 × 0.658124222097955 × 6371000     		du = 803.948451996371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85259785)-sin(0.85247166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658029207225783-0.658124222097955)×R²
    abs(1.95103181-1.95084007)×9.50148721716726e-05×R²
    0.000191739999999996×9.50148721716726e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.50148721716726e-05×40589641000000     		ar = 646292.919717103m²