Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26557 / 5829
↖ ↑ ↗
← N 81.357161°
W 34.118042°		 ← 91.80 m → N 81.357161°
W 34.112549°		 →
↑
91.81 m
↓
↑
91.81 m
↓
N 81.356335°
W 34.118042°		 ← 91.80 m →
8 428 m²		 N 81.356335°
W 34.112549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405235290527344 y=0.0889511108398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405235290527344 × 216)
    floor (0.405235290527344 × 65536)
    floor (26557.5)     		tx = 26557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0889511108398438 × 216)
    floor (0.0889511108398438 × 65536)
    floor (5829.5)     		ty = 5829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26557 / 5829 ti = "16/26557/5829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26557/5829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26557 ÷ 216
    26557 ÷ 65536     		x = 0.405227661132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5829 ÷ 216
    5829 ÷ 65536     		y = 0.0889434814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405227661132812 × 2 - 1) × π
    -0.189544677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59547217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0889434814453125 × 2 - 1) × π
    0.822113037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.58274427772939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59547217} λ = -0.59547217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58274427772939))-π/2
    2×atan(13.2334045117123)-π/2
    2×1.49537332661738-π/2
    2.99074665323476-1.57079632675     		φ = 1.41995033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59547217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.118042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41995033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.357161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26557 KachelY 5829 -0.59547217 1.41995033 -34.118042 81.357161
    Oben rechts KachelX + 1 26558 KachelY 5829 -0.59537629 1.41995033 -34.112549 81.357161
    Unten links KachelX 26557 KachelY + 1 5830 -0.59547217 1.41993592 -34.118042 81.356335
    Unten rechts KachelX + 1 26558 KachelY + 1 5830 -0.59537629 1.41993592 -34.112549 81.356335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41995033-1.41993592) × R
    1.44100000001313e-05 × 6371000     		dl = 91.8061100008363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41995033-1.41993592) × R
    1.44100000001313e-05 × 6371000     		dr = 91.8061100008363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59547217--0.59537629) × cos(1.41995033) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150274576059415 × 6371000     		do = 91.7954471922061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59547217--0.59537629) × cos(1.41993592) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150288822408175 × 6371000     		du = 91.8041495954304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41995033)-sin(1.41993592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150274576059415-0.150288822408175)×R²
    abs(-0.59537629--0.59547217)×1.42463487595446e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.42463487595446e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.42463487595446e-05×40589641000000     		ar = 8427.78238949906m²