Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26556 / 47039
↖ ↑ ↗
← S 61.436141°
W 34.123535°		 ← 292.04 m → S 61.436141°
W 34.118042°		 →
↑
292.05 m
↓
↑
292.05 m
↓
S 61.438767°
W 34.123535°		 ← 292.02 m →
85 286 m²		 S 61.438767°
W 34.118042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405220031738281 y=0.717765808105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405220031738281 × 216)
    floor (0.405220031738281 × 65536)
    floor (26556.5)     		tx = 26556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717765808105469 × 216)
    floor (0.717765808105469 × 65536)
    floor (47039.5)     		ty = 47039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26556 / 47039 ti = "16/26556/47039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26556/47039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26556 ÷ 216
    26556 ÷ 65536     		x = 0.40521240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47039 ÷ 216
    47039 ÷ 65536     		y = 0.717758178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40521240234375 × 2 - 1) × π
    -0.1895751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59556804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717758178710938 × 2 - 1) × π
    -0.435516357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.36821498895564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59556804} λ = -0.59556804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36821498895564))-π/2
    2×atan(0.254560948349014)-π/2
    2×0.249266692326588-π/2
    0.498533384653176-1.57079632675     		φ = -1.07226294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59556804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.123535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07226294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.436141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26556 KachelY 47039 -0.59556804 -1.07226294 -34.123535 -61.436141
    Oben rechts KachelX + 1 26557 KachelY 47039 -0.59547217 -1.07226294 -34.118042 -61.436141
    Unten links KachelX 26556 KachelY + 1 47040 -0.59556804 -1.07230878 -34.123535 -61.438767
    Unten rechts KachelX + 1 26557 KachelY + 1 47040 -0.59547217 -1.07230878 -34.118042 -61.438767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07226294--1.07230878) × R
    4.58399999998527e-05 × 6371000     		dl = 292.046639999061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07226294--1.07230878) × R
    4.58399999998527e-05 × 6371000     		dr = 292.046639999061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59556804--0.59547217) × cos(-1.07226294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.478137949280654 × 6371000     		do = 292.040811793498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59556804--0.59547217) × cos(-1.07230878) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.478097688205388 × 6371000     		du = 292.016220821118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07226294)-sin(-1.07230878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478137949280654-0.478097688205388)×R²
    abs(-0.59547217--0.59556804)×4.02610752664456e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.02610752664456e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.02610752664456e-05×40589641000000     		ar = 85285.9469865621m²