Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26555 / 47037
↖ ↑ ↗
← S 61.430888°
W 34.129028°		 ← 292.09 m → S 61.430888°
W 34.123535°		 →
↑
292.11 m
↓
↑
292.11 m
↓
S 61.433515°
W 34.129028°		 ← 292.07 m →
85 319 m²		 S 61.433515°
W 34.123535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405204772949219 y=0.717735290527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405204772949219 × 216)
    floor (0.405204772949219 × 65536)
    floor (26555.5)     		tx = 26555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717735290527344 × 216)
    floor (0.717735290527344 × 65536)
    floor (47037.5)     		ty = 47037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26555 / 47037 ti = "16/26555/47037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26555/47037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26555 ÷ 216
    26555 ÷ 65536     		x = 0.405197143554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47037 ÷ 216
    47037 ÷ 65536     		y = 0.717727661132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405197143554688 × 2 - 1) × π
    -0.189605712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59566391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717727661132812 × 2 - 1) × π
    -0.435455322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.36802324135716
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59566391} λ = -0.59566391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36802324135716))-π/2
    2×atan(0.254609764479565)-π/2
    2×0.249312537088329-π/2
    0.498625074176657-1.57079632675     		φ = -1.07217125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59566391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.129028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07217125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.430888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26555 KachelY 47037 -0.59566391 -1.07217125 -34.129028 -61.430888
    Oben rechts KachelX + 1 26556 KachelY 47037 -0.59556804 -1.07217125 -34.123535 -61.430888
    Unten links KachelX 26555 KachelY + 1 47038 -0.59566391 -1.07221710 -34.129028 -61.433515
    Unten rechts KachelX + 1 26556 KachelY + 1 47038 -0.59556804 -1.07221710 -34.123535 -61.433515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07217125--1.07221710) × R
    4.58500000000139e-05 × 6371000     		dl = 292.110350000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07217125--1.07221710) × R
    4.58500000000139e-05 × 6371000     		dr = 292.110350000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59566391--0.59556804) × cos(-1.07217125) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.47821847719937 × 6371000     		do = 292.089997261393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59566391--0.59556804) × cos(-1.07221710) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.478178209351207 × 6371000     		du = 292.06540215221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07217125)-sin(-1.07221710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.47821847719937-0.478178209351207)×R²
    abs(-0.59556804--0.59566391)×4.02678481631336e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.02678481631336e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.02678481631336e-05×40589641000000     		ar = 85318.9191034395m²