Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26553 / 47063
↖ ↑ ↗
← S 61.499113°
W 34.140015°		 ← 291.45 m → S 61.499113°
W 34.134522°		 →
↑
291.47 m
↓
↑
291.47 m
↓
S 61.501734°
W 34.140015°		 ← 291.43 m →
84 947 m²		 S 61.501734°
W 34.134522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405174255371094 y=0.718132019042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405174255371094 × 216)
    floor (0.405174255371094 × 65536)
    floor (26553.5)     		tx = 26553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718132019042969 × 216)
    floor (0.718132019042969 × 65536)
    floor (47063.5)     		ty = 47063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26553 / 47063 ti = "16/26553/47063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26553/47063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26553 ÷ 216
    26553 ÷ 65536     		x = 0.405166625976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47063 ÷ 216
    47063 ÷ 65536     		y = 0.718124389648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405166625976562 × 2 - 1) × π
    -0.189666748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59585566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718124389648438 × 2 - 1) × π
    -0.436248779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.37051596013741
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59585566} λ = -0.59585566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37051596013741))-π/2
    2×atan(0.253975884308742)-π/2
    2×0.248717157085538-π/2
    0.497434314171077-1.57079632675     		φ = -1.07336201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59585566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.140015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07336201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.499113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26553 KachelY 47063 -0.59585566 -1.07336201 -34.140015 -61.499113
    Oben rechts KachelX + 1 26554 KachelY 47063 -0.59575979 -1.07336201 -34.134522 -61.499113
    Unten links KachelX 26553 KachelY + 1 47064 -0.59585566 -1.07340776 -34.140015 -61.501734
    Unten rechts KachelX + 1 26554 KachelY + 1 47064 -0.59575979 -1.07340776 -34.134522 -61.501734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07336201--1.07340776) × R
    4.57499999999555e-05 × 6371000     		dl = 291.473249999717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07336201--1.07340776) × R
    4.57499999999555e-05 × 6371000     		dr = 291.473249999717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59585566--0.59575979) × cos(-1.07336201) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.4771723642707 × 6371000     		do = 291.451044278522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59585566--0.59575979) × cos(-1.07340776) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.477132158226367 × 6371000     		du = 291.426486918363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07336201)-sin(-1.07340776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4771723642707-0.477132158226367)×R²
    abs(-0.59575979--0.59585566)×4.02060443330798e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.02060443330798e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.02060443330798e-05×40589641000000     		ar = 84946.6041995919m²