Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26553 / 11194
↖ ↑ ↗
← N 49.425267°
E111.719971°		 ← 794.60 m → N 49.425267°
E111.730957°		 →
↑
794.65 m
↓
↑
794.65 m
↓
N 49.418121°
E111.719971°		 ← 794.72 m →
631 480 m²		 N 49.418121°
E111.730957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810348510742188 y=0.341629028320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810348510742188 × 215)
    floor (0.810348510742188 × 32768)
    floor (26553.5)     		tx = 26553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341629028320312 × 215)
    floor (0.341629028320312 × 32768)
    floor (11194.5)     		ty = 11194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26553 / 11194 ti = "15/26553/11194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26553/11194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26553 ÷ 215
    26553 ÷ 32768     		x = 0.810333251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11194 ÷ 215
    11194 ÷ 32768     		y = 0.34161376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810333251953125 × 2 - 1) × π
    0.62066650390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.94988133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34161376953125 × 2 - 1) × π
    0.3167724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.995170036112366
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94988133} λ = 1.94988133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.995170036112366))-π/2
    2×atan(2.70518428119355)-π/2
    2×1.21671498620542-π/2
    2.43342997241083-1.57079632675     		φ = 0.86263365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94988133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.719971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86263365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.425267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26553 KachelY 11194 1.94988133 0.86263365 111.719971 49.425267
    Oben rechts KachelX + 1 26554 KachelY 11194 1.95007308 0.86263365 111.730957 49.425267
    Unten links KachelX 26553 KachelY + 1 11195 1.94988133 0.86250892 111.719971 49.418121
    Unten rechts KachelX + 1 26554 KachelY + 1 11195 1.95007308 0.86250892 111.730957 49.418121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86263365-0.86250892) × R
    0.000124730000000017 × 6371000     		dl = 794.65483000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86263365-0.86250892) × R
    0.000124730000000017 × 6371000     		dr = 794.65483000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94988133-1.95007308) × cos(0.86263365) × R
    0.000191749999999935 × 0.650439315717097 × 6371000     		do = 794.602197822878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94988133-1.95007308) × cos(0.86250892) × R
    0.000191749999999935 × 0.650534050354578 × 6371000     		du = 794.71792937436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86263365)-sin(0.86250892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650439315717097-0.650534050354578)×R²
    abs(1.95007308-1.94988133)×9.47346374812197e-05×R²
    0.000191749999999935×9.47346374812197e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.47346374812197e-05×40589641000000     		ar = 631480.458565549m²