Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 2655 / 5737
↖ ↑ ↗
← S 58.286395°
W 63.325195°		 ← 2 568.70 m → S 58.286395°
W 63.281250°		 →
↑
2 567.90 m
↓
↑
2 567.90 m
↓
S 58.309489°
W 63.325195°		 ← 2 567.03 m →
6 594 003 m²		 S 58.309489°
W 63.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.32415771484375 y=0.70037841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.32415771484375 × 213)
    floor (0.32415771484375 × 8192)
    floor (2655.5)     		tx = 2655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.70037841796875 × 213)
    floor (0.70037841796875 × 8192)
    floor (5737.5)     		ty = 5737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2655 / 5737 ti = "13/2655/5737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2655/5737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2655 ÷ 213
    2655 ÷ 8192     		x = 0.3240966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5737 ÷ 213
    5737 ÷ 8192     		y = 0.7003173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3240966796875 × 2 - 1) × π
    -0.351806640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.10523316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7003173828125 × 2 - 1) × π
    -0.400634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.25863123642419
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10523316} λ = -1.10523316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25863123642419))-π/2
    2×atan(0.284042547635505)-π/2
    2×0.276753408258992-π/2
    0.553506816517983-1.57079632675     		φ = -1.01728951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10523316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.325195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01728951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.286395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2655 KachelY 5737 -1.10523316 -1.01728951 -63.325195 -58.286395
    Oben rechts KachelX + 1 2656 KachelY 5737 -1.10446617 -1.01728951 -63.281250 -58.286395
    Unten links KachelX 2655 KachelY + 1 5738 -1.10523316 -1.01769257 -63.325195 -58.309489
    Unten rechts KachelX + 1 2656 KachelY + 1 5738 -1.10446617 -1.01769257 -63.281250 -58.309489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01728951--1.01769257) × R
    0.000403060000000011 × 6371000     		dl = 2567.89526000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01728951--1.01769257) × R
    0.000403060000000011 × 6371000     		dr = 2567.89526000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10523316--1.10446617) × cos(-1.01728951) × R
    0.000766990000000023 × 0.525673656176211 × 6371000     		do = 2568.7007936349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10523316--1.10446617) × cos(-1.01769257) × R
    0.000766990000000023 × 0.525330735859434 × 6371000     		du = 2567.02511580796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01728951)-sin(-1.01769257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.525673656176211-0.525330735859434)×R²
    abs(-1.10446617--1.10523316)×0.000342920316777295×R²
    0.000766990000000023×0.000342920316777295×6371000²
    0.000766990000000023×0.000342920316777295×40589641000000     		ar = 6594003.19902917m²