Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2655 / 5727
↖ ↑ ↗
← S 58.054632°
W 63.325195°		 ← 2 585.49 m → S 58.054632°
W 63.281250°		 →
↑
2 584.65 m
↓
↑
2 584.65 m
↓
S 58.077876°
W 63.325195°		 ← 2 583.81 m →
6 680 427 m²		 S 58.077876°
W 63.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.32415771484375 y=0.69915771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.32415771484375 × 213)
    floor (0.32415771484375 × 8192)
    floor (2655.5)     		tx = 2655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69915771484375 × 213)
    floor (0.69915771484375 × 8192)
    floor (5727.5)     		ty = 5727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2655 / 5727 ti = "13/2655/5727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2655/5727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2655 ÷ 213
    2655 ÷ 8192     		x = 0.3240966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5727 ÷ 213
    5727 ÷ 8192     		y = 0.6990966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3240966796875 × 2 - 1) × π
    -0.351806640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.10523316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6990966796875 × 2 - 1) × π
    -0.398193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.25096133248499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10523316} λ = -1.10523316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25096133248499))-π/2
    2×atan(0.286229502837609)-π/2
    2×0.278775926963494-π/2
    0.557551853926989-1.57079632675     		φ = -1.01324447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10523316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.325195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01324447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.054632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2655 KachelY 5727 -1.10523316 -1.01324447 -63.325195 -58.054632
    Oben rechts KachelX + 1 2656 KachelY 5727 -1.10446617 -1.01324447 -63.281250 -58.054632
    Unten links KachelX 2655 KachelY + 1 5728 -1.10523316 -1.01365016 -63.325195 -58.077876
    Unten rechts KachelX + 1 2656 KachelY + 1 5728 -1.10446617 -1.01365016 -63.281250 -58.077876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01324447--1.01365016) × R
    0.000405690000000014 × 6371000     		dl = 2584.65099000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01324447--1.01365016) × R
    0.000405690000000014 × 6371000     		dr = 2584.65099000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10523316--1.10446617) × cos(-1.01324447) × R
    0.000766990000000023 × 0.529110406343535 × 6371000     		do = 2585.49445026694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10523316--1.10446617) × cos(-1.01365016) × R
    0.000766990000000023 × 0.528766113348559 × 6371000     		du = 2583.81206485719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01324447)-sin(-1.01365016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529110406343535-0.528766113348559)×R²
    abs(-1.10446617--1.10523316)×0.000344292994976181×R²
    0.000766990000000023×0.000344292994976181×6371000²
    0.000766990000000023×0.000344292994976181×40589641000000     		ar = 6680426.69258802m²