Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2655 / 1632
↖ ↑ ↗
← N 80.760615°
W121.662598°		 ← 392.29 m → N 80.760615°
W121.640625°		 →
↑
392.33 m
↓
↑
392.33 m
↓
N 80.757086°
W121.662598°		 ← 392.44 m →
153 936 m²		 N 80.757086°
W121.640625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162078857421875 y=0.099639892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162078857421875 × 214)
    floor (0.162078857421875 × 16384)
    floor (2655.5)     		tx = 2655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.099639892578125 × 214)
    floor (0.099639892578125 × 16384)
    floor (1632.5)     		ty = 1632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2655 / 1632 ti = "14/2655/1632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2655/1632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2655 ÷ 214
    2655 ÷ 16384     		x = 0.16204833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1632 ÷ 214
    1632 ÷ 16384     		y = 0.099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16204833984375 × 2 - 1) × π
    -0.6759033203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.12341291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099609375 × 2 - 1) × π
    0.80078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51572849206055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12341291} λ = -2.12341291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51572849206055))-π/2
    2×atan(12.3756210377045)-π/2
    2×1.49016747968211-π/2
    2.98033495936421-1.57079632675     		φ = 1.40953863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12341291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.662598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40953863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.760615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2655 KachelY 1632 -2.12341291 1.40953863 -121.662598 80.760615
    Oben rechts KachelX + 1 2656 KachelY 1632 -2.12302941 1.40953863 -121.640625 80.760615
    Unten links KachelX 2655 KachelY + 1 1633 -2.12341291 1.40947705 -121.662598 80.757086
    Unten rechts KachelX + 1 2656 KachelY + 1 1633 -2.12302941 1.40947705 -121.640625 80.757086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40953863-1.40947705) × R
    6.15799999998945e-05 × 6371000     		dl = 392.326179999328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40953863-1.40947705) × R
    6.15799999998945e-05 × 6371000     		dr = 392.326179999328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12341291--2.12302941) × cos(1.40953863) × R
    0.00038349999999987 × 0.160559712872195 × 6371000     		do = 392.292094426675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12341291--2.12302941) × cos(1.40947705) × R
    0.00038349999999987 × 0.160620493636729 × 6371000     		du = 392.440598761874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40953863)-sin(1.40947705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160559712872195-0.160620493636729)×R²
    abs(-2.12302941--2.12341291)×6.07807645336689e-05×R²
    0.00038349999999987×6.07807645336689e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.07807645336689e-05×40589641000000     		ar = 153935.589967691m²