Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26549 / 24994
↖ ↑ ↗
← S 68.277521°
E111.676025°		 ← 452.14 m → S 68.277521°
E111.687012°		 →
↑
452.09 m
↓
↑
452.09 m
↓
S 68.281586°
E111.676025°		 ← 452.06 m →
204 389 m²		 S 68.281586°
E111.687012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810226440429688 y=0.762771606445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810226440429688 × 215)
    floor (0.810226440429688 × 32768)
    floor (26549.5)     		tx = 26549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762771606445312 × 215)
    floor (0.762771606445312 × 32768)
    floor (24994.5)     		ty = 24994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26549 / 24994 ti = "15/26549/24994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26549/24994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26549 ÷ 215
    26549 ÷ 32768     		x = 0.810211181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24994 ÷ 215
    24994 ÷ 32768     		y = 0.76275634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810211181640625 × 2 - 1) × π
    0.62042236328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94911434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76275634765625 × 2 - 1) × π
    -0.5255126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65094682291473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94911434} λ = 1.94911434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65094682291473))-π/2
    2×atan(0.191868157423177)-π/2
    2×0.189564393788545-π/2
    0.37912878757709-1.57079632675     		φ = -1.19166754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94911434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.676025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19166754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.277521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26549 KachelY 24994 1.94911434 -1.19166754 111.676025 -68.277521
    Oben rechts KachelX + 1 26550 KachelY 24994 1.94930609 -1.19166754 111.687012 -68.277521
    Unten links KachelX 26549 KachelY + 1 24995 1.94911434 -1.19173850 111.676025 -68.281586
    Unten rechts KachelX + 1 26550 KachelY + 1 24995 1.94930609 -1.19173850 111.687012 -68.281586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19166754--1.19173850) × R
    7.09599999999533e-05 × 6371000     		dl = 452.086159999702m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19166754--1.19173850) × R
    7.09599999999533e-05 × 6371000     		dr = 452.086159999702m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94911434-1.94930609) × cos(-1.19166754) × R
    0.000191750000000157 × 0.370111263855086 × 6371000     		do = 452.14244679285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94911434-1.94930609) × cos(-1.19173850) × R
    0.000191750000000157 × 0.370045341975017 × 6371000     		du = 452.061914036723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19166754)-sin(-1.19173850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370111263855086-0.370045341975017)×R²
    abs(1.94930609-1.94911434)×6.59218800697081e-05×R²
    0.000191750000000157×6.59218800697081e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.59218800697081e-05×40589641000000     		ar = 204389.138757324m²