Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26549 / 24973
↖ ↑ ↗
← S 68.191971°
E111.676025°		 ← 453.84 m → S 68.191971°
E111.687012°		 →
↑
453.81 m
↓
↑
453.81 m
↓
S 68.196052°
E111.676025°		 ← 453.76 m →
205 936 m²		 S 68.196052°
E111.687012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810226440429688 y=0.762130737304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810226440429688 × 215)
    floor (0.810226440429688 × 32768)
    floor (26549.5)     		tx = 26549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762130737304688 × 215)
    floor (0.762130737304688 × 32768)
    floor (24973.5)     		ty = 24973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26549 / 24973 ti = "15/26549/24973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26549/24973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26549 ÷ 215
    26549 ÷ 32768     		x = 0.810211181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24973 ÷ 215
    24973 ÷ 32768     		y = 0.762115478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810211181640625 × 2 - 1) × π
    0.62042236328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94911434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762115478515625 × 2 - 1) × π
    -0.52423095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64692012334665
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94911434} λ = 1.94911434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64692012334665))-π/2
    2×atan(0.192642310444591)-π/2
    2×0.190310952421814-π/2
    0.380621904843628-1.57079632675     		φ = -1.19017442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94911434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.676025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19017442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.191971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26549 KachelY 24973 1.94911434 -1.19017442 111.676025 -68.191971
    Oben rechts KachelX + 1 26550 KachelY 24973 1.94930609 -1.19017442 111.687012 -68.191971
    Unten links KachelX 26549 KachelY + 1 24974 1.94911434 -1.19024565 111.676025 -68.196052
    Unten rechts KachelX + 1 26550 KachelY + 1 24974 1.94930609 -1.19024565 111.687012 -68.196052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19017442--1.19024565) × R
    7.12300000000887e-05 × 6371000     		dl = 453.806330000565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19017442--1.19024565) × R
    7.12300000000887e-05 × 6371000     		dr = 453.806330000565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94911434-1.94930609) × cos(-1.19017442) × R
    0.000191750000000157 × 0.371497940492706 × 6371000     		do = 453.836465400425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94911434-1.94930609) × cos(-1.19024565) × R
    0.000191750000000157 × 0.371431807212315 × 6371000     		du = 453.755674389368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19017442)-sin(-1.19024565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371497940492706-0.371431807212315)×R²
    abs(1.94930609-1.94911434)×6.6133280391012e-05×R²
    0.000191750000000157×6.6133280391012e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.6133280391012e-05×40589641000000     		ar = 205935.529134843m²