Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26549 / 11193
↖ ↑ ↗
← N 49.432413°
E111.676025°		 ← 794.49 m → N 49.432413°
E111.687012°		 →
↑
794.53 m
↓
↑
794.53 m
↓
N 49.425267°
E111.676025°		 ← 794.60 m →
631 287 m²		 N 49.425267°
E111.687012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810226440429688 y=0.341598510742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810226440429688 × 215)
    floor (0.810226440429688 × 32768)
    floor (26549.5)     		tx = 26549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341598510742188 × 215)
    floor (0.341598510742188 × 32768)
    floor (11193.5)     		ty = 11193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26549 / 11193 ti = "15/26549/11193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26549/11193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26549 ÷ 215
    26549 ÷ 32768     		x = 0.810211181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11193 ÷ 215
    11193 ÷ 32768     		y = 0.341583251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810211181640625 × 2 - 1) × π
    0.62042236328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94911434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341583251953125 × 2 - 1) × π
    0.31683349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.995361783710846
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94911434} λ = 1.94911434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.995361783710846))-π/2
    2×atan(2.70570304351704)-π/2
    2×1.216777341753-π/2
    2.433554683506-1.57079632675     		φ = 0.86275836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94911434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.676025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86275836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.432413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26549 KachelY 11193 1.94911434 0.86275836 111.676025 49.432413
    Oben rechts KachelX + 1 26550 KachelY 11193 1.94930609 0.86275836 111.687012 49.432413
    Unten links KachelX 26549 KachelY + 1 11194 1.94911434 0.86263365 111.676025 49.425267
    Unten rechts KachelX + 1 26550 KachelY + 1 11194 1.94930609 0.86263365 111.687012 49.425267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86275836-0.86263365) × R
    0.000124709999999917 × 6371000     		dl = 794.52740999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86275836-0.86263365) × R
    0.000124709999999917 × 6371000     		dr = 794.52740999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94911434-1.94930609) × cos(0.86275836) × R
    0.000191750000000157 × 0.650344586153146 × 6371000     		do = 794.48647247034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94911434-1.94930609) × cos(0.86263365) × R
    0.000191750000000157 × 0.650439315717097 × 6371000     		du = 794.602197823798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86275836)-sin(0.86263365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650344586153146-0.650439315717097)×R²
    abs(1.94930609-1.94911434)×9.47295639512902e-05×R²
    0.000191750000000157×9.47295639512902e-05×6371000²
    0.000191750000000157×9.47295639512902e-05×40589641000000     		ar = 631287.25355263m²