Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26548 / 11292
↖ ↑ ↗
← N 48.719961°
E111.665039°		 ← 805.96 m → N 48.719961°
E111.676025°		 →
↑
806 m
↓
↑
806 m
↓
N 48.712712°
E111.665039°		 ← 806.08 m →
649 650 m²		 N 48.712712°
E111.676025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810195922851562 y=0.344619750976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810195922851562 × 215)
    floor (0.810195922851562 × 32768)
    floor (26548.5)     		tx = 26548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344619750976562 × 215)
    floor (0.344619750976562 × 32768)
    floor (11292.5)     		ty = 11292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26548 / 11292 ti = "15/26548/11292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26548/11292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26548 ÷ 215
    26548 ÷ 32768     		x = 0.8101806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11292 ÷ 215
    11292 ÷ 32768     		y = 0.3446044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8101806640625 × 2 - 1) × π
    0.620361328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94892259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3446044921875 × 2 - 1) × π
    0.310791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.976378771461304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94892259} λ = 1.94892259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.976378771461304))-π/2
    2×atan(2.65482508577947)-π/2
    2×1.21056003077781-π/2
    2.42112006155562-1.57079632675     		φ = 0.85032373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94892259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.665039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85032373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.719961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26548 KachelY 11292 1.94892259 0.85032373 111.665039 48.719961
    Oben rechts KachelX + 1 26549 KachelY 11292 1.94911434 0.85032373 111.676025 48.719961
    Unten links KachelX 26548 KachelY + 1 11293 1.94892259 0.85019722 111.665039 48.712712
    Unten rechts KachelX + 1 26549 KachelY + 1 11293 1.94911434 0.85019722 111.676025 48.712712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85032373-0.85019722) × R
    0.00012651000000008 × 6371000     		dl = 805.995210000507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85032373-0.85019722) × R
    0.00012651000000008 × 6371000     		dr = 805.995210000507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94892259-1.94911434) × cos(0.85032373) × R
    0.000191749999999935 × 0.65973989930019 × 6371000     		do = 805.964155775887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94892259-1.94911434) × cos(0.85019722) × R
    0.000191749999999935 × 0.659834965529178 × 6371000     		du = 806.080292412568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85032373)-sin(0.85019722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65973989930019-0.659834965529178)×R²
    abs(1.94911434-1.94892259)×9.50662289880277e-05×R²
    0.000191749999999935×9.50662289880277e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.50662289880277e-05×40589641000000     		ar = 649650.052639642m²