Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26548 / 11291
↖ ↑ ↗
← N 48.727209°
E111.665039°		 ← 805.85 m → N 48.727209°
E111.676025°		 →
↑
805.93 m
↓
↑
805.93 m
↓
N 48.719961°
E111.665039°		 ← 805.96 m →
649 505 m²		 N 48.719961°
E111.676025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810195922851562 y=0.344589233398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810195922851562 × 215)
    floor (0.810195922851562 × 32768)
    floor (26548.5)     		tx = 26548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344589233398438 × 215)
    floor (0.344589233398438 × 32768)
    floor (11291.5)     		ty = 11291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26548 / 11291 ti = "15/26548/11291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26548/11291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26548 ÷ 215
    26548 ÷ 32768     		x = 0.8101806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11291 ÷ 215
    11291 ÷ 32768     		y = 0.344573974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8101806640625 × 2 - 1) × π
    0.620361328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94892259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344573974609375 × 2 - 1) × π
    0.31085205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.976570519059784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94892259} λ = 1.94892259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.976570519059784))-π/2
    2×atan(2.65533419092234)-π/2
    2×1.21062327799098-π/2
    2.42124655598195-1.57079632675     		φ = 0.85045023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94892259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.665039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85045023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.727209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26548 KachelY 11291 1.94892259 0.85045023 111.665039 48.727209
    Oben rechts KachelX + 1 26549 KachelY 11291 1.94911434 0.85045023 111.676025 48.727209
    Unten links KachelX 26548 KachelY + 1 11292 1.94892259 0.85032373 111.665039 48.719961
    Unten rechts KachelX + 1 26549 KachelY + 1 11292 1.94911434 0.85032373 111.676025 48.719961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85045023-0.85032373) × R
    0.000126499999999918 × 6371000     		dl = 805.93149999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85045023-0.85032373) × R
    0.000126499999999918 × 6371000     		dr = 805.93149999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94892259-1.94911434) × cos(0.85045023) × R
    0.000191749999999935 × 0.659644830027985 × 6371000     		do = 805.848015421492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94892259-1.94911434) × cos(0.85032373) × R
    0.000191749999999935 × 0.65973989930019 × 6371000     		du = 805.964155775887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85045023)-sin(0.85032373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659644830027985-0.65973989930019)×R²
    abs(1.94911434-1.94892259)×9.50692722050395e-05×R²
    0.000191749999999935×9.50692722050395e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.50692722050395e-05×40589641000000     		ar = 649505.101291392m²