Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26548 / 11290
↖ ↑ ↗
← N 48.734456°
E111.665039°		 ← 805.73 m → N 48.734456°
E111.676025°		 →
↑
805.80 m
↓
↑
805.80 m
↓
N 48.727209°
E111.665039°		 ← 805.85 m →
649 309 m²		 N 48.727209°
E111.676025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810195922851562 y=0.344558715820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810195922851562 × 215)
    floor (0.810195922851562 × 32768)
    floor (26548.5)     		tx = 26548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344558715820312 × 215)
    floor (0.344558715820312 × 32768)
    floor (11290.5)     		ty = 11290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26548 / 11290 ti = "15/26548/11290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26548/11290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26548 ÷ 215
    26548 ÷ 32768     		x = 0.8101806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11290 ÷ 215
    11290 ÷ 32768     		y = 0.34454345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8101806640625 × 2 - 1) × π
    0.620361328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94892259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34454345703125 × 2 - 1) × π
    0.3109130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.976762266658264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94892259} λ = 1.94892259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.976762266658264))-π/2
    2×atan(2.65584339369425)-π/2
    2×1.21068651609004-π/2
    2.42137303218008-1.57079632675     		φ = 0.85057671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94892259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.665039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85057671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.734456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26548 KachelY 11290 1.94892259 0.85057671 111.665039 48.734456
    Oben rechts KachelX + 1 26549 KachelY 11290 1.94911434 0.85057671 111.676025 48.734456
    Unten links KachelX 26548 KachelY + 1 11291 1.94892259 0.85045023 111.665039 48.727209
    Unten rechts KachelX + 1 26549 KachelY + 1 11291 1.94911434 0.85045023 111.676025 48.727209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85057671-0.85045023) × R
    0.00012648000000004 × 6371000     		dl = 805.804080000254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85057671-0.85045023) × R
    0.00012648000000004 × 6371000     		dr = 805.804080000254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94892259-1.94911434) × cos(0.85057671) × R
    0.000191749999999935 × 0.659549765233197 × 6371000     		do = 805.731880536886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94892259-1.94911434) × cos(0.85045023) × R
    0.000191749999999935 × 0.659644830027985 × 6371000     		du = 805.848015421492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85057671)-sin(0.85045023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659549765233197-0.659644830027985)×R²
    abs(1.94911434-1.94892259)×9.50647947884908e-05×R²
    0.000191749999999935×9.50647947884908e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.50647947884908e-05×40589641000000     		ar = 649308.828570745m²