Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26548 / 11252
↖ ↑ ↗
← N 49.009051°
E111.665039°		 ← 801.32 m → N 49.009051°
E111.676025°		 →
↑
801.34 m
↓
↑
801.34 m
↓
N 49.001844°
E111.665039°		 ← 801.44 m →
642 181 m²		 N 49.001844°
E111.676025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810195922851562 y=0.343399047851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810195922851562 × 215)
    floor (0.810195922851562 × 32768)
    floor (26548.5)     		tx = 26548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343399047851562 × 215)
    floor (0.343399047851562 × 32768)
    floor (11252.5)     		ty = 11252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26548 / 11252 ti = "15/26548/11252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26548/11252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26548 ÷ 215
    26548 ÷ 32768     		x = 0.8101806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11252 ÷ 215
    11252 ÷ 32768     		y = 0.3433837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8101806640625 × 2 - 1) × π
    0.620361328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94892259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3433837890625 × 2 - 1) × π
    0.313232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.984048675400513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94892259} λ = 1.94892259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.984048675400513))-π/2
    2×atan(2.67526562745308)-π/2
    2×1.21308281333868-π/2
    2.42616562667736-1.57079632675     		φ = 0.85536930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94892259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.665039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85536930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.009051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26548 KachelY 11252 1.94892259 0.85536930 111.665039 49.009051
    Oben rechts KachelX + 1 26549 KachelY 11252 1.94911434 0.85536930 111.676025 49.009051
    Unten links KachelX 26548 KachelY + 1 11253 1.94892259 0.85524352 111.665039 49.001844
    Unten rechts KachelX + 1 26549 KachelY + 1 11253 1.94911434 0.85524352 111.676025 49.001844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85536930-0.85524352) × R
    0.000125779999999964 × 6371000     		dl = 801.344379999772m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85536930-0.85524352) × R
    0.000125779999999964 × 6371000     		dr = 801.344379999772m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94892259-1.94911434) × cos(0.85536930) × R
    0.000191749999999935 × 0.655939801957449 × 6371000     		do = 801.321807708175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94892259-1.94911434) × cos(0.85524352) × R
    0.000191749999999935 × 0.656034737173587 × 6371000     		du = 801.437784294416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85536930)-sin(0.85524352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655939801957449-0.656034737173587)×R²
    abs(1.94911434-1.94892259)×9.49352161382366e-05×R²
    0.000191749999999935×9.49352161382366e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.49352161382366e-05×40589641000000     		ar = 642181.196617743m²