Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26547 / 50998
↖ ↑ ↗
← S 70.240890°
W 34.172974°		 ← 206.51 m → S 70.240890°
W 34.167480°		 →
↑
206.48 m
↓
↑
206.48 m
↓
S 70.242747°
W 34.172974°		 ← 206.49 m →
42 639 m²		 S 70.242747°
W 34.167480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405082702636719 y=0.778175354003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405082702636719 × 216)
    floor (0.405082702636719 × 65536)
    floor (26547.5)     		tx = 26547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778175354003906 × 216)
    floor (0.778175354003906 × 65536)
    floor (50998.5)     		ty = 50998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26547 / 50998 ti = "16/26547/50998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26547/50998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26547 ÷ 216
    26547 ÷ 65536     		x = 0.405075073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50998 ÷ 216
    50998 ÷ 65536     		y = 0.778167724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405075073242188 × 2 - 1) × π
    -0.189849853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59643091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778167724609375 × 2 - 1) × π
    -0.55633544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74777936014725
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59643091} λ = -0.59643091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74777936014725))-π/2
    2×atan(0.174160261572598)-π/2
    2×0.172430764820094-π/2
    0.344861529640187-1.57079632675     		φ = -1.22593480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59643091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.172974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22593480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.240890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26547 KachelY 50998 -0.59643091 -1.22593480 -34.172974 -70.240890
    Oben rechts KachelX + 1 26548 KachelY 50998 -0.59633503 -1.22593480 -34.167480 -70.240890
    Unten links KachelX 26547 KachelY + 1 50999 -0.59643091 -1.22596721 -34.172974 -70.242747
    Unten rechts KachelX + 1 26548 KachelY + 1 50999 -0.59633503 -1.22596721 -34.167480 -70.242747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22593480--1.22596721) × R
    3.24099999999827e-05 × 6371000     		dl = 206.48410999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22593480--1.22596721) × R
    3.24099999999827e-05 × 6371000     		dr = 206.48410999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59643091--0.59633503) × cos(-1.22593480) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.338066360271609 × 6371000     		do = 206.50833651023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59643091--0.59633503) × cos(-1.22596721) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.338035858321136 × 6371000     		du = 206.48970434864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22593480)-sin(-1.22596721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338066360271609-0.338035858321136)×R²
    abs(-0.59633503--0.59643091)×3.05019504734938e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.05019504734938e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.05019504734938e-05×40589641000000     		ar = 42638.7664531834m²