Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26546 / 24979
↖ ↑ ↗
← S 68.216447°
E111.643067°		 ← 453.33 m → S 68.216447°
E111.654053°		 →
↑
453.30 m
↓
↑
453.30 m
↓
S 68.220523°
E111.643067°		 ← 453.25 m →
205 474 m²		 S 68.220523°
E111.654053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810134887695312 y=0.762313842773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810134887695312 × 215)
    floor (0.810134887695312 × 32768)
    floor (26546.5)     		tx = 26546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762313842773438 × 215)
    floor (0.762313842773438 × 32768)
    floor (24979.5)     		ty = 24979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26546 / 24979 ti = "15/26546/24979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26546/24979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26546 ÷ 215
    26546 ÷ 32768     		x = 0.81011962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24979 ÷ 215
    24979 ÷ 32768     		y = 0.762298583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81011962890625 × 2 - 1) × π
    0.6202392578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94853910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762298583984375 × 2 - 1) × π
    -0.52459716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64807060893753
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94853910} λ = 1.94853910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64807060893753))-π/2
    2×atan(0.192420805685679)-π/2
    2×0.19009736500754-π/2
    0.38019473001508-1.57079632675     		φ = -1.19060160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94853910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.643067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19060160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.216447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26546 KachelY 24979 1.94853910 -1.19060160 111.643067 -68.216447
    Oben rechts KachelX + 1 26547 KachelY 24979 1.94873084 -1.19060160 111.654053 -68.216447
    Unten links KachelX 26546 KachelY + 1 24980 1.94853910 -1.19067275 111.643067 -68.220523
    Unten rechts KachelX + 1 26547 KachelY + 1 24980 1.94873084 -1.19067275 111.654053 -68.220523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19060160--1.19067275) × R
    7.11500000001308e-05 × 6371000     		dl = 453.296650000834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19060160--1.19067275) × R
    7.11500000001308e-05 × 6371000     		dr = 453.296650000834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94853910-1.94873084) × cos(-1.19060160) × R
    0.000191739999999996 × 0.371101298267481 × 6371000     		do = 453.328268825789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94853910-1.94873084) × cos(-1.19067275) × R
    0.000191739999999996 × 0.371035227979684 × 6371000     		du = 453.247558978296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19060160)-sin(-1.19067275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371101298267481-0.371035227979684)×R²
    abs(1.94873084-1.94853910)×6.60702877970376e-05×R²
    0.000191739999999996×6.60702877970376e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.60702877970376e-05×40589641000000     		ar = 205473.892943639m²