Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26545 / 5935
↖ ↑ ↗
← N 81.269219°
W 34.183960°		 ← 92.71 m → N 81.269219°
W 34.178467°		 →
↑
92.76 m
↓
↑
92.76 m
↓
N 81.268385°
W 34.183960°		 ← 92.72 m →
8 601 m²		 N 81.268385°
W 34.178467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405052185058594 y=0.0905685424804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405052185058594 × 216)
    floor (0.405052185058594 × 65536)
    floor (26545.5)     		tx = 26545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0905685424804688 × 216)
    floor (0.0905685424804688 × 65536)
    floor (5935.5)     		ty = 5935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26545 / 5935 ti = "16/26545/5935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26545/5935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26545 ÷ 216
    26545 ÷ 65536     		x = 0.405044555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5935 ÷ 216
    5935 ÷ 65536     		y = 0.0905609130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405044555664062 × 2 - 1) × π
    -0.189910888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59662265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0905609130859375 × 2 - 1) × π
    0.818878173828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.57258165500993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59662265} λ = -0.59662265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57258165500993))-π/2
    2×atan(13.0995994710402)-π/2
    2×1.49460588612265-π/2
    2.9892117722453-1.57079632675     		φ = 1.41841545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59662265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.183960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41841545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.269219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26545 KachelY 5935 -0.59662265 1.41841545 -34.183960 81.269219
    Oben rechts KachelX + 1 26546 KachelY 5935 -0.59652678 1.41841545 -34.178467 81.269219
    Unten links KachelX 26545 KachelY + 1 5936 -0.59662265 1.41840089 -34.183960 81.268385
    Unten rechts KachelX + 1 26546 KachelY + 1 5936 -0.59652678 1.41840089 -34.178467 81.268385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41841545-1.41840089) × R
    1.45599999998858e-05 × 6371000     		dl = 92.7617599992723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41841545-1.41840089) × R
    1.45599999998858e-05 × 6371000     		dr = 92.7617599992723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59662265--0.59652678) × cos(1.41841545) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151791848814038 × 6371000     		do = 92.7126048413016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59662265--0.59652678) × cos(1.41840089) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151806240083687 × 6371000     		du = 92.7213948527976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41841545)-sin(1.41840089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151791848814038-0.151806240083687)×R²
    abs(-0.59652678--0.59662265)×1.43912696482784e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.43912696482784e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.43912696482784e-05×40589641000000     		ar = 8600.59208780137m²