Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26543 / 47287
↖ ↑ ↗
← S 62.080743°
W 34.194946°		 ← 285.99 m → S 62.080743°
W 34.189453°		 →
↑
285.93 m
↓
↑
285.93 m
↓
S 62.083315°
W 34.194946°		 ← 285.96 m →
81 769 m²		 S 62.083315°
W 34.189453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405021667480469 y=0.721549987792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405021667480469 × 216)
    floor (0.405021667480469 × 65536)
    floor (26543.5)     		tx = 26543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721549987792969 × 216)
    floor (0.721549987792969 × 65536)
    floor (47287.5)     		ty = 47287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26543 / 47287 ti = "16/26543/47287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26543/47287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26543 ÷ 216
    26543 ÷ 65536     		x = 0.405014038085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47287 ÷ 216
    47287 ÷ 65536     		y = 0.721542358398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405014038085938 × 2 - 1) × π
    -0.189971923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59681440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721542358398438 × 2 - 1) × π
    -0.443084716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39199169116719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59681440} λ = -0.59681440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39199169116719))-π/2
    2×atan(0.24857971723981)-π/2
    2×0.243641480342781-π/2
    0.487282960685562-1.57079632675     		φ = -1.08351337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59681440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.194946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08351337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.080743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26543 KachelY 47287 -0.59681440 -1.08351337 -34.194946 -62.080743
    Oben rechts KachelX + 1 26544 KachelY 47287 -0.59671853 -1.08351337 -34.189453 -62.080743
    Unten links KachelX 26543 KachelY + 1 47288 -0.59681440 -1.08355825 -34.194946 -62.083315
    Unten rechts KachelX + 1 26544 KachelY + 1 47288 -0.59671853 -1.08355825 -34.189453 -62.083315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08351337--1.08355825) × R
    4.48800000001359e-05 × 6371000     		dl = 285.930480000866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08351337--1.08355825) × R
    4.48800000001359e-05 × 6371000     		dr = 285.930480000866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59681440--0.59671853) × cos(-1.08351337) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.46822681746741 × 6371000     		do = 285.98721369511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59681440--0.59671853) × cos(-1.08355825) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.468187160654867 × 6371000     		du = 285.962991799012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08351337)-sin(-1.08355825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46822681746741-0.468187160654867)×R²
    abs(-0.59671853--0.59681440)×3.96568125425323e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.96568125425323e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.96568125425323e-05×40589641000000     		ar = 81768.998410355m²