Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26543 / 47153
↖ ↑ ↗
← S 61.734127°
W 34.194946°		 ← 289.25 m → S 61.734127°
W 34.189453°		 →
↑
289.24 m
↓
↑
289.24 m
↓
S 61.736728°
W 34.194946°		 ← 289.22 m →
83 659 m²		 S 61.736728°
W 34.189453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405021667480469 y=0.719505310058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405021667480469 × 216)
    floor (0.405021667480469 × 65536)
    floor (26543.5)     		tx = 26543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719505310058594 × 216)
    floor (0.719505310058594 × 65536)
    floor (47153.5)     		ty = 47153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26543 / 47153 ti = "16/26543/47153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26543/47153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26543 ÷ 216
    26543 ÷ 65536     		x = 0.405014038085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47153 ÷ 216
    47153 ÷ 65536     		y = 0.719497680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405014038085938 × 2 - 1) × π
    -0.189971923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59681440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.719497680664062 × 2 - 1) × π
    -0.438995361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.37914460206902
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59681440} λ = -0.59681440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37914460206902))-π/2
    2×atan(0.251793844900494)-π/2
    2×0.246666273827623-π/2
    0.493332547655247-1.57079632675     		φ = -1.07746378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59681440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.194946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07746378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.734127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26543 KachelY 47153 -0.59681440 -1.07746378 -34.194946 -61.734127
    Oben rechts KachelX + 1 26544 KachelY 47153 -0.59671853 -1.07746378 -34.189453 -61.734127
    Unten links KachelX 26543 KachelY + 1 47154 -0.59681440 -1.07750918 -34.194946 -61.736728
    Unten rechts KachelX + 1 26544 KachelY + 1 47154 -0.59671853 -1.07750918 -34.189453 -61.736728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07746378--1.07750918) × R
    4.54000000000843e-05 × 6371000     		dl = 289.243400000537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07746378--1.07750918) × R
    4.54000000000843e-05 × 6371000     		dr = 289.243400000537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59681440--0.59671853) × cos(-1.07746378) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.4735636849164 × 6371000     		do = 289.246907063064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59681440--0.59671853) × cos(-1.07750918) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.473523697943473 × 6371000     		du = 289.222483509041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07746378)-sin(-1.07750918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4735636849164-0.473523697943473)×R²
    abs(-0.59671853--0.59681440)×3.99869729266755e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.99869729266755e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.99869729266755e-05×40589641000000     		ar = 83659.2266768062m²