Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26542 / 47054
↖ ↑ ↗
← S 61.475514°
W 34.200439°		 ← 291.67 m → S 61.475514°
W 34.194946°		 →
↑
291.66 m
↓
↑
291.66 m
↓
S 61.478137°
W 34.200439°		 ← 291.65 m →
85 067 m²		 S 61.478137°
W 34.194946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405006408691406 y=0.717994689941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405006408691406 × 216)
    floor (0.405006408691406 × 65536)
    floor (26542.5)     		tx = 26542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717994689941406 × 216)
    floor (0.717994689941406 × 65536)
    floor (47054.5)     		ty = 47054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26542 / 47054 ti = "16/26542/47054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26542/47054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26542 ÷ 216
    26542 ÷ 65536     		x = 0.404998779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47054 ÷ 216
    47054 ÷ 65536     		y = 0.717987060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404998779296875 × 2 - 1) × π
    -0.19000244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59691027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717987060546875 × 2 - 1) × π
    -0.43597412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.36965309594424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59691027} λ = -0.59691027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36965309594424))-π/2
    2×atan(0.254195125579357)-π/2
    2×0.24892310262598-π/2
    0.497846205251959-1.57079632675     		φ = -1.07295012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59691027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.200439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07295012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.475514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26542 KachelY 47054 -0.59691027 -1.07295012 -34.200439 -61.475514
    Oben rechts KachelX + 1 26543 KachelY 47054 -0.59681440 -1.07295012 -34.194946 -61.475514
    Unten links KachelX 26542 KachelY + 1 47055 -0.59691027 -1.07299590 -34.200439 -61.478137
    Unten rechts KachelX + 1 26543 KachelY + 1 47055 -0.59681440 -1.07299590 -34.194946 -61.478137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07295012--1.07299590) × R
    4.57799999999953e-05 × 6371000     		dl = 291.66437999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07295012--1.07299590) × R
    4.57799999999953e-05 × 6371000     		dr = 291.66437999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59691027--0.59681440) × cos(-1.07295012) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.477534296721619 × 6371000     		do = 291.67210819311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59691027--0.59681440) × cos(-1.07299590) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.477494073313089 × 6371000     		du = 291.647540227112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07295012)-sin(-1.07299590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477534296721619-0.477494073313089)×R²
    abs(-0.59681440--0.59691027)×4.02234085299935e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.02234085299935e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.02234085299935e-05×40589641000000     		ar = 85066.7818139908m²