Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26541 / 47057
↖ ↑ ↗
← S 61.483382°
W 34.205933°		 ← 291.63 m → S 61.483382°
W 34.200439°		 →
↑
291.60 m
↓
↑
291.60 m
↓
S 61.486004°
W 34.205933°		 ← 291.60 m →
85 036 m²		 S 61.486004°
W 34.200439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404991149902344 y=0.718040466308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404991149902344 × 216)
    floor (0.404991149902344 × 65536)
    floor (26541.5)     		tx = 26541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718040466308594 × 216)
    floor (0.718040466308594 × 65536)
    floor (47057.5)     		ty = 47057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26541 / 47057 ti = "16/26541/47057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26541/47057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26541 ÷ 216
    26541 ÷ 65536     		x = 0.404983520507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47057 ÷ 216
    47057 ÷ 65536     		y = 0.718032836914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404983520507812 × 2 - 1) × π
    -0.190032958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59700615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718032836914062 × 2 - 1) × π
    -0.436065673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.36994071734196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59700615} λ = -0.59700615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36994071734196))-π/2
    2×atan(0.254122024135318)-π/2
    2×0.248854436762019-π/2
    0.497708873524038-1.57079632675     		φ = -1.07308745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59700615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.205933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07308745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.483382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26541 KachelY 47057 -0.59700615 -1.07308745 -34.205933 -61.483382
    Oben rechts KachelX + 1 26542 KachelY 47057 -0.59691027 -1.07308745 -34.200439 -61.483382
    Unten links KachelX 26541 KachelY + 1 47058 -0.59700615 -1.07313322 -34.205933 -61.486004
    Unten rechts KachelX + 1 26542 KachelY + 1 47058 -0.59691027 -1.07313322 -34.200439 -61.486004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07308745--1.07313322) × R
    4.5770000000056e-05 × 6371000     		dl = 291.600670000357m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07308745--1.07313322) × R
    4.5770000000056e-05 × 6371000     		dr = 291.600670000357m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59700615--0.59691027) × cos(-1.07308745) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.477413632280692 × 6371000     		do = 291.628823850983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59700615--0.59691027) × cos(-1.07313322) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.477373414657431 × 6371000     		du = 291.604256856292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07308745)-sin(-1.07313322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477413632280692-0.477373414657431)×R²
    abs(-0.59691027--0.59700615)×4.02176232615625e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.02176232615625e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.02176232615625e-05×40589641000000     		ar = 85035.5785654225m²