Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26540 / 47293
↖ ↑ ↗
← S 62.096171°
W 34.211426°		 ← 285.84 m → S 62.096171°
W 34.205933°		 →
↑
285.87 m
↓
↑
285.87 m
↓
S 62.098742°
W 34.211426°		 ← 285.82 m →
81 709 m²		 S 62.098742°
W 34.205933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404975891113281 y=0.721641540527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404975891113281 × 216)
    floor (0.404975891113281 × 65536)
    floor (26540.5)     		tx = 26540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721641540527344 × 216)
    floor (0.721641540527344 × 65536)
    floor (47293.5)     		ty = 47293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26540 / 47293 ti = "16/26540/47293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26540/47293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26540 ÷ 216
    26540 ÷ 65536     		x = 0.40496826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47293 ÷ 216
    47293 ÷ 65536     		y = 0.721633911132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40496826171875 × 2 - 1) × π
    -0.1900634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59710202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721633911132812 × 2 - 1) × π
    -0.443267822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.39256693396263
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59710202} λ = -0.59710202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39256693396263))-π/2
    2×atan(0.248436764668535)-π/2
    2×0.243506842512114-π/2
    0.487013685024228-1.57079632675     		φ = -1.08378264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59710202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.211426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08378264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.096171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26540 KachelY 47293 -0.59710202 -1.08378264 -34.211426 -62.096171
    Oben rechts KachelX + 1 26541 KachelY 47293 -0.59700615 -1.08378264 -34.205933 -62.096171
    Unten links KachelX 26540 KachelY + 1 47294 -0.59710202 -1.08382751 -34.211426 -62.098742
    Unten rechts KachelX + 1 26541 KachelY + 1 47294 -0.59700615 -1.08382751 -34.205933 -62.098742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08378264--1.08382751) × R
    4.48700000001967e-05 × 6371000     		dl = 285.866770001253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08378264--1.08382751) × R
    4.48700000001967e-05 × 6371000     		dr = 285.866770001253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59710202--0.59700615) × cos(-1.08378264) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.467988871285656 × 6371000     		do = 285.841879077377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59710202--0.59700615) × cos(-1.08382751) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.4679492176539 × 6371000     		du = 285.817659124064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08378264)-sin(-1.08382751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467988871285656-0.4679492176539)×R²
    abs(-0.59700615--0.59710202)×3.96536317566754e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.96536317566754e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.96536317566754e-05×40589641000000     		ar = 81709.2328769968m²