Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26540 / 11228
↖ ↑ ↗
← N 49.181704°
E111.577148°		 ← 798.54 m → N 49.181704°
E111.588135°		 →
↑
798.60 m
↓
↑
798.60 m
↓
N 49.174522°
E111.577148°		 ← 798.66 m →
637 764 m²		 N 49.174522°
E111.588135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809951782226562 y=0.342666625976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809951782226562 × 215)
    floor (0.809951782226562 × 32768)
    floor (26540.5)     		tx = 26540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342666625976562 × 215)
    floor (0.342666625976562 × 32768)
    floor (11228.5)     		ty = 11228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26540 / 11228 ti = "15/26540/11228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26540/11228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26540 ÷ 215
    26540 ÷ 32768     		x = 0.8099365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11228 ÷ 215
    11228 ÷ 32768     		y = 0.3426513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8099365234375 × 2 - 1) × π
    0.619873046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.94738861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3426513671875 × 2 - 1) × π
    0.314697265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.988650617764038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94738861} λ = 1.94738861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.988650617764038))-π/2
    2×atan(2.68760541740126)-π/2
    2×1.21458949131558-π/2
    2.42917898263116-1.57079632675     		φ = 0.85838266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94738861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.577148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85838266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.181704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26540 KachelY 11228 1.94738861 0.85838266 111.577148 49.181704
    Oben rechts KachelX + 1 26541 KachelY 11228 1.94758036 0.85838266 111.588135 49.181704
    Unten links KachelX 26540 KachelY + 1 11229 1.94738861 0.85825731 111.577148 49.174522
    Unten rechts KachelX + 1 26541 KachelY + 1 11229 1.94758036 0.85825731 111.588135 49.174522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85838266-0.85825731) × R
    0.000125349999999913 × 6371000     		dl = 798.604849999446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85838266-0.85825731) × R
    0.000125349999999913 × 6371000     		dr = 798.604849999446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94738861-1.94758036) × cos(0.85838266) × R
    0.000191749999999935 × 0.653662303401283 × 6371000     		do = 798.539526080146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94738861-1.94758036) × cos(0.85825731) × R
    0.000191749999999935 × 0.653757161435756 × 6371000     		du = 798.655408378236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85838266)-sin(0.85825731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653662303401283-0.653757161435756)×R²
    abs(1.94758036-1.94738861)×9.48580344729555e-05×R²
    0.000191749999999935×9.48580344729555e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.48580344729555e-05×40589641000000     		ar = 637763.811361439m²