Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26539 / 47291
↖ ↑ ↗
← S 62.091029°
W 34.216919°		 ← 285.92 m → S 62.091029°
W 34.211426°		 →
↑
285.87 m
↓
↑
285.87 m
↓
S 62.093600°
W 34.216919°		 ← 285.90 m →
81 732 m²		 S 62.093600°
W 34.211426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404960632324219 y=0.721611022949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404960632324219 × 216)
    floor (0.404960632324219 × 65536)
    floor (26539.5)     		tx = 26539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721611022949219 × 216)
    floor (0.721611022949219 × 65536)
    floor (47291.5)     		ty = 47291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26539 / 47291 ti = "16/26539/47291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26539/47291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26539 ÷ 216
    26539 ÷ 65536     		x = 0.404953002929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47291 ÷ 216
    47291 ÷ 65536     		y = 0.721603393554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404953002929688 × 2 - 1) × π
    -0.190093994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59719790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721603393554688 × 2 - 1) × π
    -0.443206787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39237518636415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59719790} λ = -0.59719790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39237518636415))-π/2
    2×atan(0.248484406388981)-π/2
    2×0.243551714184729-π/2
    0.487103428369459-1.57079632675     		φ = -1.08369290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59719790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.216919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08369290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.091029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26539 KachelY 47291 -0.59719790 -1.08369290 -34.216919 -62.091029
    Oben rechts KachelX + 1 26540 KachelY 47291 -0.59710202 -1.08369290 -34.211426 -62.091029
    Unten links KachelX 26539 KachelY + 1 47292 -0.59719790 -1.08373777 -34.216919 -62.093600
    Unten rechts KachelX + 1 26540 KachelY + 1 47292 -0.59710202 -1.08373777 -34.211426 -62.093600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08369290--1.08373777) × R
    4.48699999999747e-05 × 6371000     		dl = 285.866769999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08369290--1.08373777) × R
    4.48699999999747e-05 × 6371000     		dr = 285.866769999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59719790--0.59710202) × cos(-1.08369290) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.46806817572246 × 6371000     		do = 285.920137880777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59719790--0.59710202) × cos(-1.08373777) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.468028523975203 × 6371000     		du = 285.895916552281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08369290)-sin(-1.08373777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46806817572246-0.468028523975203)×R²
    abs(-0.59710202--0.59719790)×3.96517472568414e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.96517472568414e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.96517472568414e-05×40589641000000     		ar = 81731.6042712359m²