Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26539 / 47275
↖ ↑ ↗
← S 62.049862°
W 34.216919°		 ← 286.31 m → S 62.049862°
W 34.211426°		 →
↑
286.31 m
↓
↑
286.31 m
↓
S 62.052437°
W 34.216919°		 ← 286.28 m →
81 970 m²		 S 62.052437°
W 34.211426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404960632324219 y=0.721366882324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404960632324219 × 216)
    floor (0.404960632324219 × 65536)
    floor (26539.5)     		tx = 26539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721366882324219 × 216)
    floor (0.721366882324219 × 65536)
    floor (47275.5)     		ty = 47275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26539 / 47275 ti = "16/26539/47275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26539/47275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26539 ÷ 216
    26539 ÷ 65536     		x = 0.404953002929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47275 ÷ 216
    47275 ÷ 65536     		y = 0.721359252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404953002929688 × 2 - 1) × π
    -0.190093994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59719790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721359252929688 × 2 - 1) × π
    -0.442718505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39084120557631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59719790} λ = -0.59719790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39084120557631))-π/2
    2×atan(0.248865869197969)-π/2
    2×0.243910961386229-π/2
    0.487821922772459-1.57079632675     		φ = -1.08297440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59719790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.216919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08297440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.049862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26539 KachelY 47275 -0.59719790 -1.08297440 -34.216919 -62.049862
    Oben rechts KachelX + 1 26540 KachelY 47275 -0.59710202 -1.08297440 -34.211426 -62.049862
    Unten links KachelX 26539 KachelY + 1 47276 -0.59719790 -1.08301934 -34.216919 -62.052437
    Unten rechts KachelX + 1 26540 KachelY + 1 47276 -0.59710202 -1.08301934 -34.211426 -62.052437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08297440--1.08301934) × R
    4.49400000002154e-05 × 6371000     		dl = 286.312740001372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08297440--1.08301934) × R
    4.49400000002154e-05 × 6371000     		dr = 286.312740001372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59719790--0.59710202) × cos(-1.08297440) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.468702987808485 × 6371000     		do = 286.307913783047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59719790--0.59710202) × cos(-1.08301934) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.468663289324536 × 6371000     		du = 286.283663905373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08297440)-sin(-1.08301934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468702987808485-0.468663289324536)×R²
    abs(-0.59710202--0.59719790)×3.96984839490244e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.96984839490244e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.96984839490244e-05×40589641000000     		ar = 81970.1317685833m²