Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26536 / 47048
↖ ↑ ↗
← S 61.459770°
W 34.233399°		 ← 291.85 m → S 61.459770°
W 34.227905°		 →
↑
291.86 m
↓
↑
291.86 m
↓
S 61.462395°
W 34.233399°		 ← 291.83 m →
85 174 m²		 S 61.462395°
W 34.227905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404914855957031 y=0.717903137207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404914855957031 × 216)
    floor (0.404914855957031 × 65536)
    floor (26536.5)     		tx = 26536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717903137207031 × 216)
    floor (0.717903137207031 × 65536)
    floor (47048.5)     		ty = 47048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26536 / 47048 ti = "16/26536/47048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26536/47048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26536 ÷ 216
    26536 ÷ 65536     		x = 0.4049072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47048 ÷ 216
    47048 ÷ 65536     		y = 0.7178955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4049072265625 × 2 - 1) × π
    -0.190185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59748552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7178955078125 × 2 - 1) × π
    -0.435791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.3690778531488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59748552} λ = -0.59748552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3690778531488))-π/2
    2×atan(0.254341391559175)-π/2
    2×0.249060486420794-π/2
    0.498120972841588-1.57079632675     		φ = -1.07267535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59748552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.233399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07267535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.459770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26536 KachelY 47048 -0.59748552 -1.07267535 -34.233399 -61.459770
    Oben rechts KachelX + 1 26537 KachelY 47048 -0.59738964 -1.07267535 -34.227905 -61.459770
    Unten links KachelX 26536 KachelY + 1 47049 -0.59748552 -1.07272116 -34.233399 -61.462395
    Unten rechts KachelX + 1 26537 KachelY + 1 47049 -0.59738964 -1.07272116 -34.227905 -61.462395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07267535--1.07272116) × R
    4.5810000000035e-05 × 6371000     		dl = 291.855510000223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07267535--1.07272116) × R
    4.5810000000035e-05 × 6371000     		dr = 291.855510000223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59748552--0.59738964) × cos(-1.07267535) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.477775695215991 × 6371000     		do = 291.849990530525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59748552--0.59738964) × cos(-1.07272116) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.477735451460504 × 6371000     		du = 291.825407572925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07267535)-sin(-1.07272116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477775695215991-0.477735451460504)×R²
    abs(-0.59738964--0.59748552)×4.02437554871127e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.02437554871127e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.02437554871127e-05×40589641000000     		ar = 85174.4405085867m²