Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26536 / 10694
↖ ↑ ↗
← N 52.869130°
E111.533203°		 ← 737.43 m → N 52.869130°
E111.544190°		 →
↑
737.51 m
↓
↑
737.51 m
↓
N 52.862497°
E111.533203°		 ← 737.54 m →
543 899 m²		 N 52.862497°
E111.544190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809829711914062 y=0.326370239257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809829711914062 × 215)
    floor (0.809829711914062 × 32768)
    floor (26536.5)     		tx = 26536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326370239257812 × 215)
    floor (0.326370239257812 × 32768)
    floor (10694.5)     		ty = 10694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26536 / 10694 ti = "15/26536/10694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26536/10694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26536 ÷ 215
    26536 ÷ 32768     		x = 0.809814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10694 ÷ 215
    10694 ÷ 32768     		y = 0.32635498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809814453125 × 2 - 1) × π
    0.61962890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.94662162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32635498046875 × 2 - 1) × π
    0.3472900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09104383535248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94662162} λ = 1.94662162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09104383535248))-π/2
    2×atan(2.97738034592489)-π/2
    2×1.2467683565941-π/2
    2.49353671318819-1.57079632675     		φ = 0.92274039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94662162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.533203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92274039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.869130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26536 KachelY 10694 1.94662162 0.92274039 111.533203 52.869130
    Oben rechts KachelX + 1 26537 KachelY 10694 1.94681337 0.92274039 111.544190 52.869130
    Unten links KachelX 26536 KachelY + 1 10695 1.94662162 0.92262463 111.533203 52.862497
    Unten rechts KachelX + 1 26537 KachelY + 1 10695 1.94681337 0.92262463 111.544190 52.862497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92274039-0.92262463) × R
    0.00011576000000002 × 6371000     		dl = 737.506960000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92274039-0.92262463) × R
    0.00011576000000002 × 6371000     		dr = 737.506960000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94662162-1.94681337) × cos(0.92274039) × R
    0.000191750000000157 × 0.603637625875086 × 6371000     		do = 737.427416546425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94662162-1.94681337) × cos(0.92262463) × R
    0.000191750000000157 × 0.603729912510712 × 6371000     		du = 737.540157522756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92274039)-sin(0.92262463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603637625875086-0.603729912510712)×R²
    abs(1.94681337-1.94662162)×9.22866356257712e-05×R²
    0.000191750000000157×9.22866356257712e-05×6371000²
    0.000191750000000157×9.22866356257712e-05×40589641000000     		ar = 543899.426432718m²