Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26535 / 47288
↖ ↑ ↗
← S 62.083315°
W 34.238892°		 ← 285.96 m → S 62.083315°
W 34.233399°		 →
↑
285.99 m
↓
↑
285.99 m
↓
S 62.085887°
W 34.238892°		 ← 285.94 m →
81 780 m²		 S 62.085887°
W 34.233399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404899597167969 y=0.721565246582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404899597167969 × 216)
    floor (0.404899597167969 × 65536)
    floor (26535.5)     		tx = 26535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721565246582031 × 216)
    floor (0.721565246582031 × 65536)
    floor (47288.5)     		ty = 47288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26535 / 47288 ti = "16/26535/47288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26535/47288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26535 ÷ 216
    26535 ÷ 65536     		x = 0.404891967773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47288 ÷ 216
    47288 ÷ 65536     		y = 0.7215576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404891967773438 × 2 - 1) × π
    -0.190216064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59758139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7215576171875 × 2 - 1) × π
    -0.443115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39208756496643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59758139} λ = -0.59758139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39208756496643))-π/2
    2×atan(0.248555886100313)-π/2
    2×0.243619035951376-π/2
    0.487238071902752-1.57079632675     		φ = -1.08355825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59758139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.238892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08355825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.083315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26535 KachelY 47288 -0.59758139 -1.08355825 -34.238892 -62.083315
    Oben rechts KachelX + 1 26536 KachelY 47288 -0.59748552 -1.08355825 -34.233399 -62.083315
    Unten links KachelX 26535 KachelY + 1 47289 -0.59758139 -1.08360314 -34.238892 -62.085887
    Unten rechts KachelX + 1 26536 KachelY + 1 47289 -0.59748552 -1.08360314 -34.233399 -62.085887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08355825--1.08360314) × R
    4.48899999998531e-05 × 6371000     		dl = 285.994189999064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08355825--1.08360314) × R
    4.48899999998531e-05 × 6371000     		dr = 285.994189999064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59758139--0.59748552) × cos(-1.08355825) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.468187160654867 × 6371000     		do = 285.962991799012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59758139--0.59748552) × cos(-1.08360314) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.468147494062792 × 6371000     		du = 285.938763929695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08355825)-sin(-1.08360314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468187160654867-0.468147494062792)×R²
    abs(-0.59748552--0.59758139)×3.96665920749939e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.96665920749939e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.96665920749939e-05×40589641000000     		ar = 81780.2897082587m²