Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26532 / 46948
↖ ↑ ↗
← S 61.196213°
W 34.255371°		 ← 294.28 m → S 61.196213°
W 34.249878°		 →
↑
294.28 m
↓
↑
294.28 m
↓
S 61.198860°
W 34.255371°		 ← 294.26 m →
86 597 m²		 S 61.198860°
W 34.249878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404853820800781 y=0.716377258300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404853820800781 × 216)
    floor (0.404853820800781 × 65536)
    floor (26532.5)     		tx = 26532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716377258300781 × 216)
    floor (0.716377258300781 × 65536)
    floor (46948.5)     		ty = 46948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26532 / 46948 ti = "16/26532/46948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26532/46948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26532 ÷ 216
    26532 ÷ 65536     		x = 0.40484619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46948 ÷ 216
    46948 ÷ 65536     		y = 0.71636962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40484619140625 × 2 - 1) × π
    -0.1903076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59786901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71636962890625 × 2 - 1) × π
    -0.4327392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.35949047322479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59786901} λ = -0.59786901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35949047322479))-π/2
    2×atan(0.256791585814038)-π/2
    2×0.251360458876882-π/2
    0.502720917753763-1.57079632675     		φ = -1.06807541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59786901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.255371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06807541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.196213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26532 KachelY 46948 -0.59786901 -1.06807541 -34.255371 -61.196213
    Oben rechts KachelX + 1 26533 KachelY 46948 -0.59777314 -1.06807541 -34.249878 -61.196213
    Unten links KachelX 26532 KachelY + 1 46949 -0.59786901 -1.06812160 -34.255371 -61.198860
    Unten rechts KachelX + 1 26533 KachelY + 1 46949 -0.59777314 -1.06812160 -34.249878 -61.198860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06807541--1.06812160) × R
    4.6189999999946e-05 × 6371000     		dl = 294.276489999656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06807541--1.06812160) × R
    4.6189999999946e-05 × 6371000     		dr = 294.276489999656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59786901--0.59777314) × cos(-1.06807541) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.481811590103828 × 6371000     		do = 294.284626679665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59786901--0.59777314) × cos(-1.06812160) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.481771114455101 × 6371000     		du = 294.259904648439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06807541)-sin(-1.06812160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.481811590103828-0.481771114455101)×R²
    abs(-0.59777314--0.59786901)×4.04756487273339e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.04756487273339e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.04756487273339e-05×40589641000000     		ar = 86597.4094592628m²