Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26531 / 5929
↖ ↑ ↗
← N 81.274220°
W 34.260864°		 ← 92.67 m → N 81.274220°
W 34.255371°		 →
↑
92.70 m
↓
↑
92.70 m
↓
N 81.273387°
W 34.260864°		 ← 92.68 m →
8 591 m²		 N 81.273387°
W 34.255371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404838562011719 y=0.0904769897460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404838562011719 × 216)
    floor (0.404838562011719 × 65536)
    floor (26531.5)     		tx = 26531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0904769897460938 × 216)
    floor (0.0904769897460938 × 65536)
    floor (5929.5)     		ty = 5929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26531 / 5929 ti = "16/26531/5929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26531/5929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26531 ÷ 216
    26531 ÷ 65536     		x = 0.404830932617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5929 ÷ 216
    5929 ÷ 65536     		y = 0.0904693603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404830932617188 × 2 - 1) × π
    -0.190338134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59796489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0904693603515625 × 2 - 1) × π
    0.819061279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.57315689780537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59796489} λ = -0.59796489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57315689780537))-π/2
    2×atan(13.1071370890314)-π/2
    2×1.49464953229832-π/2
    2.98929906459664-1.57079632675     		φ = 1.41850274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59796489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.260864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41850274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.274220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26531 KachelY 5929 -0.59796489 1.41850274 -34.260864 81.274220
    Oben rechts KachelX + 1 26532 KachelY 5929 -0.59786901 1.41850274 -34.255371 81.274220
    Unten links KachelX 26531 KachelY + 1 5930 -0.59796489 1.41848819 -34.260864 81.273387
    Unten rechts KachelX + 1 26532 KachelY + 1 5930 -0.59786901 1.41848819 -34.255371 81.273387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41850274-1.41848819) × R
    1.45500000001686e-05 × 6371000     		dl = 92.6980500010741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41850274-1.41848819) × R
    1.45500000001686e-05 × 6371000     		dr = 92.6980500010741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59796489--0.59786901) × cos(1.41850274) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.151705569710299 × 6371000     		do = 92.6695717817186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59796489--0.59786901) × cos(1.41848819) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.151719951288585 × 6371000     		du = 92.6783567900995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41850274)-sin(1.41848819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151705569710299-0.151719951288585)×R²
    abs(-0.59786901--0.59796489)×1.4381578286371e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.4381578286371e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.4381578286371e-05×40589641000000     		ar = 8590.69577546584m²