Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26531 / 5794
↖ ↑ ↗
← N 81.386005°
W 34.260864°		 ← 91.49 m → N 81.386005°
W 34.255371°		 →
↑
91.49 m
↓
↑
91.49 m
↓
N 81.385182°
W 34.260864°		 ← 91.50 m →
8 371 m²		 N 81.385182°
W 34.255371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404838562011719 y=0.0884170532226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404838562011719 × 216)
    floor (0.404838562011719 × 65536)
    floor (26531.5)     		tx = 26531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0884170532226562 × 216)
    floor (0.0884170532226562 × 65536)
    floor (5794.5)     		ty = 5794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26531 / 5794 ti = "16/26531/5794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26531/5794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26531 ÷ 216
    26531 ÷ 65536     		x = 0.404830932617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5794 ÷ 216
    5794 ÷ 65536     		y = 0.088409423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404830932617188 × 2 - 1) × π
    -0.190338134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59796489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.088409423828125 × 2 - 1) × π
    0.82318115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.58609986070279
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59796489} λ = -0.59796489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58609986070279))-π/2
    2×atan(13.2778848856275)-π/2
    2×1.49562503826223-π/2
    2.99125007652446-1.57079632675     		φ = 1.42045375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59796489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.260864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42045375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.386005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26531 KachelY 5794 -0.59796489 1.42045375 -34.260864 81.386005
    Oben rechts KachelX + 1 26532 KachelY 5794 -0.59786901 1.42045375 -34.255371 81.386005
    Unten links KachelX 26531 KachelY + 1 5795 -0.59796489 1.42043939 -34.260864 81.385182
    Unten rechts KachelX + 1 26532 KachelY + 1 5795 -0.59786901 1.42043939 -34.255371 81.385182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42045375-1.42043939) × R
    1.4359999999991e-05 × 6371000     		dl = 91.487559999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42045375-1.42043939) × R
    1.4359999999991e-05 × 6371000     		dr = 91.487559999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59796489--0.59786901) × cos(1.42045375) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149776853724795 × 6371000     		do = 91.4914127674746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59796489--0.59786901) × cos(1.42043939) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149791051726052 × 6371000     		du = 91.5000856375551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42045375)-sin(1.42043939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149776853724795-0.149791051726052)×R²
    abs(-0.59786901--0.59796489)×1.41980012564324e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.41980012564324e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.41980012564324e-05×40589641000000     		ar = 8370.72284504047m²