Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26531 / 47323
↖ ↑ ↗
← S 62.173196°
W 34.260864°		 ← 285.15 m → S 62.173196°
W 34.255371°		 →
↑
285.10 m
↓
↑
285.10 m
↓
S 62.175760°
W 34.260864°		 ← 285.12 m →
81 292 m²		 S 62.175760°
W 34.255371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404838562011719 y=0.722099304199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404838562011719 × 216)
    floor (0.404838562011719 × 65536)
    floor (26531.5)     		tx = 26531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722099304199219 × 216)
    floor (0.722099304199219 × 65536)
    floor (47323.5)     		ty = 47323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26531 / 47323 ti = "16/26531/47323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26531/47323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26531 ÷ 216
    26531 ÷ 65536     		x = 0.404830932617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47323 ÷ 216
    47323 ÷ 65536     		y = 0.722091674804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404830932617188 × 2 - 1) × π
    -0.190338134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59796489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722091674804688 × 2 - 1) × π
    -0.444183349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39544314793983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59796489} λ = -0.59796489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39544314793983))-π/2
    2×atan(0.247723233998883)-π/2
    2×0.242834679268047-π/2
    0.485669358536094-1.57079632675     		φ = -1.08512697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59796489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.260864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08512697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.173196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26531 KachelY 47323 -0.59796489 -1.08512697 -34.260864 -62.173196
    Oben rechts KachelX + 1 26532 KachelY 47323 -0.59786901 -1.08512697 -34.255371 -62.173196
    Unten links KachelX 26531 KachelY + 1 47324 -0.59796489 -1.08517172 -34.260864 -62.175760
    Unten rechts KachelX + 1 26532 KachelY + 1 47324 -0.59786901 -1.08517172 -34.255371 -62.175760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08512697--1.08517172) × R
    4.47500000000378e-05 × 6371000     		dl = 285.102250000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08512697--1.08517172) × R
    4.47500000000378e-05 × 6371000     		dr = 285.102250000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59796489--0.59786901) × cos(-1.08512697) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.466800418153267 × 6371000     		do = 285.145726293355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59796489--0.59786901) × cos(-1.08517172) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.46676084245545 × 6371000     		du = 285.121551419772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08512697)-sin(-1.08517172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466800418153267-0.46676084245545)×R²
    abs(-0.59786901--0.59796489)×3.95756978171513e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.95756978171513e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.95756978171513e-05×40589641000000     		ar = 81292.2420025754m²