Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26531 / 11097
↖ ↑ ↗
← N 50.113534°
E111.478271°		 ← 783.40 m → N 50.113534°
E111.489258°		 →
↑
783.44 m
↓
↑
783.44 m
↓
N 50.106488°
E111.478271°		 ← 783.51 m →
613 792 m²		 N 50.106488°
E111.489258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809677124023438 y=0.338668823242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809677124023438 × 215)
    floor (0.809677124023438 × 32768)
    floor (26531.5)     		tx = 26531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338668823242188 × 215)
    floor (0.338668823242188 × 32768)
    floor (11097.5)     		ty = 11097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26531 / 11097 ti = "15/26531/11097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26531/11097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26531 ÷ 215
    26531 ÷ 32768     		x = 0.809661865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11097 ÷ 215
    11097 ÷ 32768     		y = 0.338653564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809661865234375 × 2 - 1) × π
    0.61932373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.94566288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338653564453125 × 2 - 1) × π
    0.32269287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01376955316495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94566288} λ = 1.94566288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01376955316495))-π/2
    2×atan(2.75597023539803)-π/2
    2×1.22272124247863-π/2
    2.44544248495726-1.57079632675     		φ = 0.87464616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94566288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.478271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87464616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.113534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26531 KachelY 11097 1.94566288 0.87464616 111.478271 50.113534
    Oben rechts KachelX + 1 26532 KachelY 11097 1.94585463 0.87464616 111.489258 50.113534
    Unten links KachelX 26531 KachelY + 1 11098 1.94566288 0.87452319 111.478271 50.106488
    Unten rechts KachelX + 1 26532 KachelY + 1 11098 1.94585463 0.87452319 111.489258 50.106488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87464616-0.87452319) × R
    0.000122969999999945 × 6371000     		dl = 783.441869999647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87464616-0.87452319) × R
    0.000122969999999945 × 6371000     		dr = 783.441869999647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94566288-1.94585463) × cos(0.87464616) × R
    0.000191749999999935 × 0.641268405623206 × 6371000     		do = 783.398654093964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94566288-1.94585463) × cos(0.87452319) × R
    0.000191749999999935 × 0.641362757702155 × 6371000     		du = 783.513918296927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87464616)-sin(0.87452319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641268405623206-0.641362757702155)×R²
    abs(1.94585463-1.94566288)×9.43520789492558e-05×R²
    0.000191749999999935×9.43520789492558e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.43520789492558e-05×40589641000000     		ar = 613792.458694056m²