Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26530 / 47321
↖ ↑ ↗
← S 62.168067°
W 34.266357°		 ← 285.16 m → S 62.168067°
W 34.260864°		 →
↑
285.17 m
↓
↑
285.17 m
↓
S 62.170631°
W 34.266357°		 ← 285.14 m →
81 316 m²		 S 62.170631°
W 34.260864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404823303222656 y=0.722068786621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404823303222656 × 216)
    floor (0.404823303222656 × 65536)
    floor (26530.5)     		tx = 26530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722068786621094 × 216)
    floor (0.722068786621094 × 65536)
    floor (47321.5)     		ty = 47321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26530 / 47321 ti = "16/26530/47321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26530/47321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26530 ÷ 216
    26530 ÷ 65536     		x = 0.404815673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47321 ÷ 216
    47321 ÷ 65536     		y = 0.722061157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404815673828125 × 2 - 1) × π
    -0.19036865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59806076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722061157226562 × 2 - 1) × π
    -0.444122314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.39525140034135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59806076} λ = -0.59806076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39525140034135))-π/2
    2×atan(0.247770738888419)-π/2
    2×0.242879436992485-π/2
    0.485758873984971-1.57079632675     		φ = -1.08503745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59806076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.266357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08503745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.168067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26530 KachelY 47321 -0.59806076 -1.08503745 -34.266357 -62.168067
    Oben rechts KachelX + 1 26531 KachelY 47321 -0.59796489 -1.08503745 -34.260864 -62.168067
    Unten links KachelX 26530 KachelY + 1 47322 -0.59806076 -1.08508221 -34.266357 -62.170631
    Unten rechts KachelX + 1 26531 KachelY + 1 47322 -0.59796489 -1.08508221 -34.260864 -62.170631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08503745--1.08508221) × R
    4.4759999999977e-05 × 6371000     		dl = 285.165959999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08503745--1.08508221) × R
    4.4759999999977e-05 × 6371000     		dr = 285.165959999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59806076--0.59796489) × cos(-1.08503745) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.466879584430849 × 6371000     		do = 285.164340233039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59806076--0.59796489) × cos(-1.08508221) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.466840001759705 × 6371000     		du = 285.1401636216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08503745)-sin(-1.08508221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466879584430849-0.466840001759705)×R²
    abs(-0.59796489--0.59806076)×3.95826711439562e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.95826711439562e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.95826711439562e-05×40589641000000     		ar = 81315.7156802664m²