Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2653 / 5717
↖ ↑ ↗
← S 57.821355°
W 63.413086°		 ← 2 602.36 m → S 57.821355°
W 63.369141°		 →
↑
2 601.53 m
↓
↑
2 601.53 m
↓
S 57.844751°
W 63.413086°		 ← 2 600.67 m →
6 767 918 m²		 S 57.844751°
W 63.369141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.32391357421875 y=0.69793701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.32391357421875 × 213)
    floor (0.32391357421875 × 8192)
    floor (2653.5)     		tx = 2653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69793701171875 × 213)
    floor (0.69793701171875 × 8192)
    floor (5717.5)     		ty = 5717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2653 / 5717 ti = "13/2653/5717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2653/5717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2653 ÷ 213
    2653 ÷ 8192     		x = 0.3238525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5717 ÷ 213
    5717 ÷ 8192     		y = 0.6978759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3238525390625 × 2 - 1) × π
    -0.352294921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.10676714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6978759765625 × 2 - 1) × π
    -0.395751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.24329142854578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10676714} λ = -1.10676714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.24329142854578))-π/2
    2×atan(0.288433296267281)-π/2
    2×0.280811651740488-π/2
    0.561623303480977-1.57079632675     		φ = -1.00917302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10676714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.413086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.00917302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.821355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2653 KachelY 5717 -1.10676714 -1.00917302 -63.413086 -57.821355
    Oben rechts KachelX + 1 2654 KachelY 5717 -1.10600015 -1.00917302 -63.369141 -57.821355
    Unten links KachelX 2653 KachelY + 1 5718 -1.10676714 -1.00958136 -63.413086 -57.844751
    Unten rechts KachelX + 1 2654 KachelY + 1 5718 -1.10600015 -1.00958136 -63.369141 -57.844751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.00917302--1.00958136) × R
    0.000408340000000118 × 6371000     		dl = 2601.53414000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.00917302--1.00958136) × R
    0.000408340000000118 × 6371000     		dr = 2601.53414000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10676714--1.10600015) × cos(-1.00917302) × R
    0.000766990000000023 × 0.532560852424716 × 6371000     		do = 2602.35503189013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10676714--1.10600015) × cos(-1.00958136) × R
    0.000766990000000023 × 0.532215192440623 × 6371000     		du = 2600.66596669724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.00917302)-sin(-1.00958136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532560852424716-0.532215192440623)×R²
    abs(-1.10600015--1.10676714)×0.000345659984092861×R²
    0.000766990000000023×0.000345659984092861×6371000²
    0.000766990000000023×0.000345659984092861×40589641000000     		ar = 6767918.47352715m²