Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26529 / 47200
↖ ↑ ↗
← S 61.856149°
W 34.271850°		 ← 288.10 m → S 61.856149°
W 34.266357°		 →
↑
288.10 m
↓
↑
288.10 m
↓
S 61.858740°
W 34.271850°		 ← 288.08 m →
82 997 m²		 S 61.858740°
W 34.266357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404808044433594 y=0.720222473144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404808044433594 × 216)
    floor (0.404808044433594 × 65536)
    floor (26529.5)     		tx = 26529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720222473144531 × 216)
    floor (0.720222473144531 × 65536)
    floor (47200.5)     		ty = 47200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26529 / 47200 ti = "16/26529/47200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26529/47200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26529 ÷ 216
    26529 ÷ 65536     		x = 0.404800415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47200 ÷ 216
    47200 ÷ 65536     		y = 0.72021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404800415039062 × 2 - 1) × π
    -0.190399169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59815663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72021484375 × 2 - 1) × π
    -0.4404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.3836506706333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59815663} λ = -0.59815663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3836506706333))-π/2
    2×atan(0.250661797029456)-π/2
    2×0.24560143386281-π/2
    0.491202867725619-1.57079632675     		φ = -1.07959346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59815663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.271850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07959346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.856149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26529 KachelY 47200 -0.59815663 -1.07959346 -34.271850 -61.856149
    Oben rechts KachelX + 1 26530 KachelY 47200 -0.59806076 -1.07959346 -34.266357 -61.856149
    Unten links KachelX 26529 KachelY + 1 47201 -0.59815663 -1.07963868 -34.271850 -61.858740
    Unten rechts KachelX + 1 26530 KachelY + 1 47201 -0.59806076 -1.07963868 -34.266357 -61.858740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07959346--1.07963868) × R
    4.5220000000068e-05 × 6371000     		dl = 288.096620000433m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07959346--1.07963868) × R
    4.5220000000068e-05 × 6371000     		dr = 288.096620000433m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59815663--0.59806076) × cos(-1.07959346) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.471686876341331 × 6371000     		do = 288.100575338781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59815663--0.59806076) × cos(-1.07963868) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.471647002395126 × 6371000     		du = 288.076220820098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07959346)-sin(-1.07963868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471686876341331-0.471647002395126)×R²
    abs(-0.59806076--0.59815663)×3.98739462048603e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.98739462048603e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.98739462048603e-05×40589641000000     		ar = 82997.2937619831m²