Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26529 / 11227
↖ ↑ ↗
← N 49.188884°
E111.456299°		 ← 798.38 m → N 49.188884°
E111.467285°		 →
↑
798.41 m
↓
↑
798.41 m
↓
N 49.181704°
E111.456299°		 ← 798.50 m →
637 485 m²		 N 49.181704°
E111.467285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809616088867188 y=0.342636108398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809616088867188 × 215)
    floor (0.809616088867188 × 32768)
    floor (26529.5)     		tx = 26529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342636108398438 × 215)
    floor (0.342636108398438 × 32768)
    floor (11227.5)     		ty = 11227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26529 / 11227 ti = "15/26529/11227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26529/11227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26529 ÷ 215
    26529 ÷ 32768     		x = 0.809600830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11227 ÷ 215
    11227 ÷ 32768     		y = 0.342620849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809600830078125 × 2 - 1) × π
    0.61920166015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.94527939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342620849609375 × 2 - 1) × π
    0.31475830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.988842365362518
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94527939} λ = 1.94527939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.988842365362518))-π/2
    2×atan(2.68812080869666)-π/2
    2×1.21465215585737-π/2
    2.42930431171473-1.57079632675     		φ = 0.85850798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94527939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.456299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85850798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.188884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26529 KachelY 11227 1.94527939 0.85850798 111.456299 49.188884
    Oben rechts KachelX + 1 26530 KachelY 11227 1.94547113 0.85850798 111.467285 49.188884
    Unten links KachelX 26529 KachelY + 1 11228 1.94527939 0.85838266 111.456299 49.181704
    Unten rechts KachelX + 1 26530 KachelY + 1 11228 1.94547113 0.85838266 111.467285 49.181704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85850798-0.85838266) × R
    0.000125319999999984 × 6371000     		dl = 798.4137199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85850798-0.85838266) × R
    0.000125319999999984 × 6371000     		dr = 798.4137199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94527939-1.94547113) × cos(0.85850798) × R
    0.000191739999999996 × 0.65356745780211 × 6371000     		do = 798.382020191022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94527939-1.94547113) × cos(0.85838266) × R
    0.000191739999999996 × 0.653662303401283 × 6371000     		du = 798.497881255049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85850798)-sin(0.85838266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65356745780211-0.653662303401283)×R²
    abs(1.94547113-1.94527939)×9.48455991737207e-05×R²
    0.000191739999999996×9.48455991737207e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.48455991737207e-05×40589641000000     		ar = 637485.412087768m²