Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26528 / 5920
↖ ↑ ↗
← N 81.281717°
W 34.277344°		 ← 92.59 m → N 81.281717°
W 34.271850°		 →
↑
92.57 m
↓
↑
92.57 m
↓
N 81.280884°
W 34.277344°		 ← 92.60 m →
8 572 m²		 N 81.280884°
W 34.271850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404792785644531 y=0.0903396606445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404792785644531 × 216)
    floor (0.404792785644531 × 65536)
    floor (26528.5)     		tx = 26528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0903396606445312 × 216)
    floor (0.0903396606445312 × 65536)
    floor (5920.5)     		ty = 5920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26528 / 5920 ti = "16/26528/5920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26528/5920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26528 ÷ 216
    26528 ÷ 65536     		x = 0.40478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5920 ÷ 216
    5920 ÷ 65536     		y = 0.09033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40478515625 × 2 - 1) × π
    -0.1904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59825251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09033203125 × 2 - 1) × π
    0.8193359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.57401976199854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59825251} λ = -0.59825251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57401976199854))-π/2
    2×atan(13.1184516490628)-π/2
    2×1.49471495504833-π/2
    2.98942991009665-1.57079632675     		φ = 1.41863358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59825251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.277344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41863358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.281717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26528 KachelY 5920 -0.59825251 1.41863358 -34.277344 81.281717
    Oben rechts KachelX + 1 26529 KachelY 5920 -0.59815663 1.41863358 -34.271850 81.281717
    Unten links KachelX 26528 KachelY + 1 5921 -0.59825251 1.41861905 -34.277344 81.280884
    Unten rechts KachelX + 1 26529 KachelY + 1 5921 -0.59815663 1.41861905 -34.271850 81.280884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41863358-1.41861905) × R
    1.45300000000681e-05 × 6371000     		dl = 92.5706300004339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41863358-1.41861905) × R
    1.45300000000681e-05 × 6371000     		dr = 92.5706300004339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59825251--0.59815663) × cos(1.41863358) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.151576242789862 × 6371000     		do = 92.5905722410729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59825251--0.59815663) × cos(1.41861905) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.151590604887977 × 6371000     		du = 92.5993453499622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41863358)-sin(1.41861905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151576242789862-0.151590604887977)×R²
    abs(-0.59815663--0.59825251)×1.43620981148118e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.43620981148118e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.43620981148118e-05×40589641000000     		ar = 8571.57367076468m²