Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26528 / 46944
↖ ↑ ↗
← S 61.185625°
W 34.277344°		 ← 294.41 m → S 61.185625°
W 34.271850°		 →
↑
294.34 m
↓
↑
294.34 m
↓
S 61.188272°
W 34.277344°		 ← 294.39 m →
86 654 m²		 S 61.188272°
W 34.271850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404792785644531 y=0.716316223144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404792785644531 × 216)
    floor (0.404792785644531 × 65536)
    floor (26528.5)     		tx = 26528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716316223144531 × 216)
    floor (0.716316223144531 × 65536)
    floor (46944.5)     		ty = 46944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26528 / 46944 ti = "16/26528/46944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26528/46944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26528 ÷ 216
    26528 ÷ 65536     		x = 0.40478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46944 ÷ 216
    46944 ÷ 65536     		y = 0.71630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40478515625 × 2 - 1) × π
    -0.1904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59825251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71630859375 × 2 - 1) × π
    -0.4326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.35910697802783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59825251} λ = -0.59825251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35910697802783))-π/2
    2×atan(0.256890083039216)-π/2
    2×0.251452860616642-π/2
    0.502905721233285-1.57079632675     		φ = -1.06789061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59825251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.277344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06789061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.185625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26528 KachelY 46944 -0.59825251 -1.06789061 -34.277344 -61.185625
    Oben rechts KachelX + 1 26529 KachelY 46944 -0.59815663 -1.06789061 -34.271850 -61.185625
    Unten links KachelX 26528 KachelY + 1 46945 -0.59825251 -1.06793681 -34.277344 -61.188272
    Unten rechts KachelX + 1 26529 KachelY + 1 46945 -0.59815663 -1.06793681 -34.271850 -61.188272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06789061--1.06793681) × R
    4.61999999998852e-05 × 6371000     		dl = 294.340199999269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06789061--1.06793681) × R
    4.61999999998852e-05 × 6371000     		dr = 294.340199999269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59825251--0.59815663) × cos(-1.06789061) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.481973517465778 × 6371000     		do = 294.414236464924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59825251--0.59815663) × cos(-1.06793681) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.48193303716819 × 6371000     		du = 294.389509015232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06789061)-sin(-1.06793681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.481973517465778-0.48193303716819)×R²
    abs(-0.59815663--0.59825251)×4.04802975880192e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.04802975880192e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.04802975880192e-05×40589641000000     		ar = 86654.3061180484m²