Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26528 / 43190
↖ ↑ ↗
← S 49.575103°
W 34.277344°		 ← 396.11 m → S 49.575103°
W 34.271850°		 →
↑
396.02 m
↓
↑
396.02 m
↓
S 49.578664°
W 34.277344°		 ← 396.08 m →
156 861 m²		 S 49.578664°
W 34.271850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404792785644531 y=0.659034729003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404792785644531 × 216)
    floor (0.404792785644531 × 65536)
    floor (26528.5)     		tx = 26528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659034729003906 × 216)
    floor (0.659034729003906 × 65536)
    floor (43190.5)     		ty = 43190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26528 / 43190 ti = "16/26528/43190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26528/43190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26528 ÷ 216
    26528 ÷ 65536     		x = 0.40478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43190 ÷ 216
    43190 ÷ 65536     		y = 0.659027099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40478515625 × 2 - 1) × π
    -0.1904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59825251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659027099609375 × 2 - 1) × π
    -0.31805419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.99919673568045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59825251} λ = -0.59825251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.99919673568045))-π/2
    2×atan(0.368175064316298)-π/2
    2×0.352773780834133-π/2
    0.705547561668267-1.57079632675     		φ = -0.86524877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59825251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.277344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86524877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.575103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26528 KachelY 43190 -0.59825251 -0.86524877 -34.277344 -49.575103
    Oben rechts KachelX + 1 26529 KachelY 43190 -0.59815663 -0.86524877 -34.271850 -49.575103
    Unten links KachelX 26528 KachelY + 1 43191 -0.59825251 -0.86531093 -34.277344 -49.578664
    Unten rechts KachelX + 1 26529 KachelY + 1 43191 -0.59815663 -0.86531093 -34.271850 -49.578664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86524877--0.86531093) × R
    6.21600000000333e-05 × 6371000     		dl = 396.021360000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86524877--0.86531093) × R
    6.21600000000333e-05 × 6371000     		dr = 396.021360000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59825251--0.59815663) × cos(-0.86524877) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.648450757948763 × 6371000     		do = 396.107105200323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59825251--0.59815663) × cos(-0.86531093) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.648403436985632 × 6371000     		du = 396.078199119959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86524877)-sin(-0.86531093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648450757948763-0.648403436985632)×R²
    abs(-0.59815663--0.59825251)×4.73209631306482e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.73209631306482e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.73209631306482e-05×40589641000000     		ar = 156861.150845107m²