Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26527 / 51054
↖ ↑ ↗
← S 70.344622°
W 34.282837°		 ← 205.45 m → S 70.344622°
W 34.277344°		 →
↑
205.46 m
↓
↑
205.46 m
↓
S 70.346470°
W 34.282837°		 ← 205.43 m →
42 210 m²		 S 70.346470°
W 34.277344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404777526855469 y=0.779029846191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404777526855469 × 216)
    floor (0.404777526855469 × 65536)
    floor (26527.5)     		tx = 26527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779029846191406 × 216)
    floor (0.779029846191406 × 65536)
    floor (51054.5)     		ty = 51054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26527 / 51054 ti = "16/26527/51054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26527/51054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26527 ÷ 216
    26527 ÷ 65536     		x = 0.404769897460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51054 ÷ 216
    51054 ÷ 65536     		y = 0.779022216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404769897460938 × 2 - 1) × π
    -0.190460205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59834838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779022216796875 × 2 - 1) × π
    -0.55804443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75314829290469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59834838} λ = -0.59834838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75314829290469))-π/2
    2×atan(0.173227712475985)-π/2
    2×0.171525526461601-π/2
    0.343051052923202-1.57079632675     		φ = -1.22774527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59834838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.282837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22774527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.344622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26527 KachelY 51054 -0.59834838 -1.22774527 -34.282837 -70.344622
    Oben rechts KachelX + 1 26528 KachelY 51054 -0.59825251 -1.22774527 -34.277344 -70.344622
    Unten links KachelX 26527 KachelY + 1 51055 -0.59834838 -1.22777752 -34.282837 -70.346470
    Unten rechts KachelX + 1 26528 KachelY + 1 51055 -0.59825251 -1.22777752 -34.277344 -70.346470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22774527--1.22777752) × R
    3.22500000000669e-05 × 6371000     		dl = 205.464750000427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22774527--1.22777752) × R
    3.22500000000669e-05 × 6371000     		dr = 205.464750000427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59834838--0.59825251) × cos(-1.22774527) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336361933500568 × 6371000     		do = 205.445755275695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59834838--0.59825251) × cos(-1.22777752) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336331562443144 × 6371000     		du = 205.427205005259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22774527)-sin(-1.22777752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336361933500568-0.336331562443144)×R²
    abs(-0.59825251--0.59834838)×3.0371057424039e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.0371057424039e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.0371057424039e-05×40589641000000     		ar = 42209.9550369395m²