Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26526 / 5920
↖ ↑ ↗
← N 81.281717°
W 34.288330°		 ← 92.58 m → N 81.281717°
W 34.282837°		 →
↑
92.57 m
↓
↑
92.57 m
↓
N 81.280884°
W 34.288330°		 ← 92.59 m →
8 571 m²		 N 81.280884°
W 34.282837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404762268066406 y=0.0903396606445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404762268066406 × 216)
    floor (0.404762268066406 × 65536)
    floor (26526.5)     		tx = 26526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0903396606445312 × 216)
    floor (0.0903396606445312 × 65536)
    floor (5920.5)     		ty = 5920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26526 / 5920 ti = "16/26526/5920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26526/5920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26526 ÷ 216
    26526 ÷ 65536     		x = 0.404754638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5920 ÷ 216
    5920 ÷ 65536     		y = 0.09033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404754638671875 × 2 - 1) × π
    -0.19049072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59844425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09033203125 × 2 - 1) × π
    0.8193359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.57401976199854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59844425} λ = -0.59844425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57401976199854))-π/2
    2×atan(13.1184516490628)-π/2
    2×1.49471495504833-π/2
    2.98942991009665-1.57079632675     		φ = 1.41863358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59844425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.288330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41863358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.281717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26526 KachelY 5920 -0.59844425 1.41863358 -34.288330 81.281717
    Oben rechts KachelX + 1 26527 KachelY 5920 -0.59834838 1.41863358 -34.282837 81.281717
    Unten links KachelX 26526 KachelY + 1 5921 -0.59844425 1.41861905 -34.288330 81.280884
    Unten rechts KachelX + 1 26527 KachelY + 1 5921 -0.59834838 1.41861905 -34.282837 81.280884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41863358-1.41861905) × R
    1.45300000000681e-05 × 6371000     		dl = 92.5706300004339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41863358-1.41861905) × R
    1.45300000000681e-05 × 6371000     		dr = 92.5706300004339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59844425--0.59834838) × cos(1.41863358) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151576242789862 × 6371000     		do = 92.5809153185962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59844425--0.59834838) × cos(1.41861905) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151590604887977 × 6371000     		du = 92.5896875124763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41863358)-sin(1.41861905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151576242789862-0.151590604887977)×R²
    abs(-0.59834838--0.59844425)×1.43620981148118e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.43620981148118e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.43620981148118e-05×40589641000000     		ar = 8570.67968101564m²