Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26526 / 47326
↖ ↑ ↗
← S 62.180887°
W 34.288330°		 ← 285.04 m → S 62.180887°
W 34.282837°		 →
↑
285.04 m
↓
↑
285.04 m
↓
S 62.183450°
W 34.288330°		 ← 285.02 m →
81 245 m²		 S 62.183450°
W 34.282837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404762268066406 y=0.722145080566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404762268066406 × 216)
    floor (0.404762268066406 × 65536)
    floor (26526.5)     		tx = 26526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722145080566406 × 216)
    floor (0.722145080566406 × 65536)
    floor (47326.5)     		ty = 47326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26526 / 47326 ti = "16/26526/47326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26526/47326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26526 ÷ 216
    26526 ÷ 65536     		x = 0.404754638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47326 ÷ 216
    47326 ÷ 65536     		y = 0.722137451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404754638671875 × 2 - 1) × π
    -0.19049072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59844425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722137451171875 × 2 - 1) × π
    -0.44427490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39573076933755
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59844425} λ = -0.59844425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39573076933755))-π/2
    2×atan(0.247651993741675)-π/2
    2×0.242767556910702-π/2
    0.485535113821405-1.57079632675     		φ = -1.08526121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59844425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.288330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08526121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.180887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26526 KachelY 47326 -0.59844425 -1.08526121 -34.288330 -62.180887
    Oben rechts KachelX + 1 26527 KachelY 47326 -0.59834838 -1.08526121 -34.282837 -62.180887
    Unten links KachelX 26526 KachelY + 1 47327 -0.59844425 -1.08530595 -34.288330 -62.183450
    Unten rechts KachelX + 1 26527 KachelY + 1 47327 -0.59834838 -1.08530595 -34.282837 -62.183450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08526121--1.08530595) × R
    4.47399999998765e-05 × 6371000     		dl = 285.038539999213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08526121--1.08530595) × R
    4.47399999998765e-05 × 6371000     		dr = 285.038539999213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59844425--0.59834838) × cos(-1.08526121) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.466681697099995 × 6371000     		do = 285.043473071515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59844425--0.59834838) × cos(-1.08530595) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.466642127442934 × 6371000     		du = 285.019304408919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08526121)-sin(-1.08530595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466681697099995-0.466642127442934)×R²
    abs(-0.59834838--0.59844425)×3.95696570614223e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.95696570614223e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.95696570614223e-05×40589641000000     		ar = 81244.9309141423m²