Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26526 / 11250
↖ ↑ ↗
← N 49.023461°
E111.423340°		 ← 801.09 m → N 49.023461°
E111.434326°		 →
↑
801.09 m
↓
↑
801.09 m
↓
N 49.016257°
E111.423340°		 ← 801.21 m →
641 791 m²		 N 49.016257°
E111.434326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809524536132812 y=0.343338012695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809524536132812 × 215)
    floor (0.809524536132812 × 32768)
    floor (26526.5)     		tx = 26526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343338012695312 × 215)
    floor (0.343338012695312 × 32768)
    floor (11250.5)     		ty = 11250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26526 / 11250 ti = "15/26526/11250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26526/11250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26526 ÷ 215
    26526 ÷ 32768     		x = 0.80950927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11250 ÷ 215
    11250 ÷ 32768     		y = 0.34332275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80950927734375 × 2 - 1) × π
    0.6190185546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.94470414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34332275390625 × 2 - 1) × π
    0.3133544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.984432170597473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94470414} λ = 1.94470414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.984432170597473))-π/2
    2×atan(2.67629177572069)-π/2
    2×1.21320857001704-π/2
    2.42641714003409-1.57079632675     		φ = 0.85562081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94470414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.423340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85562081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.023461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26526 KachelY 11250 1.94470414 0.85562081 111.423340 49.023461
    Oben rechts KachelX + 1 26527 KachelY 11250 1.94489589 0.85562081 111.434326 49.023461
    Unten links KachelX 26526 KachelY + 1 11251 1.94470414 0.85549507 111.423340 49.016257
    Unten rechts KachelX + 1 26527 KachelY + 1 11251 1.94489589 0.85549507 111.434326 49.016257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85562081-0.85549507) × R
    0.000125739999999985 × 6371000     		dl = 801.089539999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85562081-0.85549507) × R
    0.000125739999999985 × 6371000     		dr = 801.089539999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94470414-1.94489589) × cos(0.85562081) × R
    0.000191749999999935 × 0.655749938143483 × 6371000     		do = 801.089862620879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94470414-1.94489589) × cos(0.85549507) × R
    0.000191749999999935 × 0.655844863912901 × 6371000     		du = 801.205827666636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85562081)-sin(0.85549507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655749938143483-0.655844863912901)×R²
    abs(1.94489589-1.94470414)×9.49257694179417e-05×R²
    0.000191749999999935×9.49257694179417e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.49257694179417e-05×40589641000000     		ar = 641791.15958328m²