Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26525 / 46947
↖ ↑ ↗
← S 61.193566°
W 34.293823°		 ← 294.34 m → S 61.193566°
W 34.288330°		 →
↑
294.34 m
↓
↑
294.34 m
↓
S 61.196213°
W 34.293823°		 ← 294.32 m →
86 632 m²		 S 61.196213°
W 34.288330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404747009277344 y=0.716361999511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404747009277344 × 216)
    floor (0.404747009277344 × 65536)
    floor (26525.5)     		tx = 26525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716361999511719 × 216)
    floor (0.716361999511719 × 65536)
    floor (46947.5)     		ty = 46947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26525 / 46947 ti = "16/26525/46947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26525/46947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26525 ÷ 216
    26525 ÷ 65536     		x = 0.404739379882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46947 ÷ 216
    46947 ÷ 65536     		y = 0.716354370117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404739379882812 × 2 - 1) × π
    -0.190521240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59854013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716354370117188 × 2 - 1) × π
    -0.432708740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.35939459942555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59854013} λ = -0.59854013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35939459942555))-π/2
    2×atan(0.256816206579207)-π/2
    2×0.251383556400963-π/2
    0.502767112801926-1.57079632675     		φ = -1.06802921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59854013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.293823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06802921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.193566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26525 KachelY 46947 -0.59854013 -1.06802921 -34.293823 -61.193566
    Oben rechts KachelX + 1 26526 KachelY 46947 -0.59844425 -1.06802921 -34.288330 -61.193566
    Unten links KachelX 26525 KachelY + 1 46948 -0.59854013 -1.06807541 -34.293823 -61.196213
    Unten rechts KachelX + 1 26526 KachelY + 1 46948 -0.59844425 -1.06807541 -34.288330 -61.196213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06802921--1.06807541) × R
    4.62000000001073e-05 × 6371000     		dl = 294.340200000683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06802921--1.06807541) × R
    4.62000000001073e-05 × 6371000     		dr = 294.340200000683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59854013--0.59844425) × cos(-1.06802921) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.481852073487129 × 6371000     		do = 294.340052230488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59854013--0.59844425) × cos(-1.06807541) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.481811590103828 × 6371000     		du = 294.315322895884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06802921)-sin(-1.06807541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.481852073487129-0.481811590103828)×R²
    abs(-0.59844425--0.59854013)×4.04833833004825e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.04833833004825e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.04833833004825e-05×40589641000000     		ar = 86632.4704383741m²