Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26524 / 46951
↖ ↑ ↗
← S 61.204152°
W 34.299316°		 ← 294.21 m → S 61.204152°
W 34.293823°		 →
↑
294.21 m
↓
↑
294.21 m
↓
S 61.206798°
W 34.299316°		 ← 294.19 m →
86 557 m²		 S 61.206798°
W 34.293823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404731750488281 y=0.716423034667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404731750488281 × 216)
    floor (0.404731750488281 × 65536)
    floor (26524.5)     		tx = 26524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716423034667969 × 216)
    floor (0.716423034667969 × 65536)
    floor (46951.5)     		ty = 46951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26524 / 46951 ti = "16/26524/46951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26524/46951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26524 ÷ 216
    26524 ÷ 65536     		x = 0.40472412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46951 ÷ 216
    46951 ÷ 65536     		y = 0.716415405273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40472412109375 × 2 - 1) × π
    -0.1905517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59863600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716415405273438 × 2 - 1) × π
    -0.432830810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.35977809462251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59863600} λ = -0.59863600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35977809462251))-π/2
    2×atan(0.256717737679864)-π/2
    2×0.251291177946481-π/2
    0.502582355892962-1.57079632675     		φ = -1.06821397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59863600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.299316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06821397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.204152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26524 KachelY 46951 -0.59863600 -1.06821397 -34.299316 -61.204152
    Oben rechts KachelX + 1 26525 KachelY 46951 -0.59854013 -1.06821397 -34.293823 -61.204152
    Unten links KachelX 26524 KachelY + 1 46952 -0.59863600 -1.06826015 -34.299316 -61.206798
    Unten rechts KachelX + 1 26525 KachelY + 1 46952 -0.59854013 -1.06826015 -34.293823 -61.206798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06821397--1.06826015) × R
    4.61800000000068e-05 × 6371000     		dl = 294.212780000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06821397--1.06826015) × R
    4.61800000000068e-05 × 6371000     		dr = 294.212780000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59863600--0.59854013) × cos(-1.06821397) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.481690168837549 × 6371000     		do = 294.210464055204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59863600--0.59854013) × cos(-1.06826015) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.481649698869343 × 6371000     		du = 294.185745493571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06821397)-sin(-1.06826015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.481690168837549-0.481649698869343)×R²
    abs(-0.59854013--0.59863600)×4.04699682067799e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.04699682067799e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.04699682067799e-05×40589641000000     		ar = 86556.842291821m²