Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26523 / 46949
↖ ↑ ↗
← S 61.198860°
W 34.304810°		 ← 294.29 m → S 61.198860°
W 34.299316°		 →
↑
294.28 m
↓
↑
294.28 m
↓
S 61.201506°
W 34.304810°		 ← 294.27 m →
86 599 m²		 S 61.201506°
W 34.299316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404716491699219 y=0.716392517089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404716491699219 × 216)
    floor (0.404716491699219 × 65536)
    floor (26523.5)     		tx = 26523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716392517089844 × 216)
    floor (0.716392517089844 × 65536)
    floor (46949.5)     		ty = 46949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26523 / 46949 ti = "16/26523/46949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26523/46949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26523 ÷ 216
    26523 ÷ 65536     		x = 0.404708862304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46949 ÷ 216
    46949 ÷ 65536     		y = 0.716384887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404708862304688 × 2 - 1) × π
    -0.190582275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59873188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716384887695312 × 2 - 1) × π
    -0.432769775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.35958634702403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59873188} λ = -0.59873188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35958634702403))-π/2
    2×atan(0.256766967409242)-π/2
    2×0.251337363293183-π/2
    0.502674726586367-1.57079632675     		φ = -1.06812160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59873188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.304810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06812160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.198860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26523 KachelY 46949 -0.59873188 -1.06812160 -34.304810 -61.198860
    Oben rechts KachelX + 1 26524 KachelY 46949 -0.59863600 -1.06812160 -34.299316 -61.198860
    Unten links KachelX 26523 KachelY + 1 46950 -0.59873188 -1.06816779 -34.304810 -61.201506
    Unten rechts KachelX + 1 26524 KachelY + 1 46950 -0.59863600 -1.06816779 -34.299316 -61.201506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06812160--1.06816779) × R
    4.6189999999946e-05 × 6371000     		dl = 294.276489999656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06812160--1.06816779) × R
    4.6189999999946e-05 × 6371000     		dr = 294.276489999656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59873188--0.59863600) × cos(-1.06812160) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.481771114455101 × 6371000     		do = 294.290598286296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59873188--0.59863600) × cos(-1.06816779) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.481730637778507 × 6371000     		du = 294.265873048493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06812160)-sin(-1.06816779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.481771114455101-0.481730637778507)×R²
    abs(-0.59863600--0.59873188)×4.0476676593737e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.0476676593737e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.0476676593737e-05×40589641000000     		ar = 86599.1662910067m²